Контрольная работа по математике

Задание 1.

Найдите:

1. Определенный интеграл, используя метод непосредственного интегрирования

Решение: 
 
 

Ответ:  

2. Неопределенный интеграл, используя метод подстановки

_{Решение:} 
 

Ответ:

3. Неопределенный интеграл, используя метод разложения на простейшие дроби

_{Решение:}

x⁵+5    x²-1

x⁵-x³    x³+x

     x³+5

     x³-x

          x+5 
 
 
 

Ответ:  

4. Неопределенный интеграл, используя метод интегрирования по частям

_{Решение:} 
 
 

Ответ: 

5. Площадь фигуры, ограниченной линиями  .

Решение:

 
 
 
 

Ответ: 

Задание 2.

     Дана  функция двух переменных  F(x₁,х₂) =5x₁ + 2x₂ ,которая выполняется при условиях:

1. Покажите  графически область допустимых значений данной функции. Запишите какие-нибудь допустимые значения переменных и найдите  значение функции при этих значениях
2. Найдите максимальное и минимальное значения данной функции при заданных условиях.
3. По данному условию сформулируйте основную задачу линейного программирования. Затем запишите ее в стандартном виде и в каноническом виде.
4. Запишите задачу, двойственную к задаче из предыдущего пункта.
5. Определите решение двойственной задачи.

 

Решение:

1. Построим графически область допустимых значений данной функции.

 

                  

 

     ABCD – область допустимых значений данной функции. Найдем координаты вершин полученного четырехугольника ABCD. 

Точка В имеет координаты (2;2). 

Точка А имеет координаты (1;4). 

Точка С имеет координаты (;). 

Точка D имеет координаты ().

     Вычислим  значение функции в данных точках:

 A(1;4) => 

B(2;2) => 

C() => 

D() => 

2. Найдем максимальное и минимальное значения данной функции при заданных условиях.

     Построим  вектор нормали  и прямую d, перпендикулярную данному вектору. Двигая прямую d по направлению вектора, получим точку минимума - точку А(1;4) и точку максимума – C(). 
 

3. По данному  условию сформулируем основную задачу линейного программирования: найти переменные задачи х₁ и х₂, которые обеспечивают экстремум целевой функции F(x₁,х₂) =5x₁ + 2x₂ и удовлетворяют системе ограничений:

 
 

F(x₁,х₂) =5x₁ + 2x₂

                   - стандартный вид задачи линейного программирования 

 
 

 - канонический вид задачи линейного программирования 

4. Запишем задачу, двойственную к задаче из предыдущего пункта.

а) F(X) =5x₁ + 2x₂ 

        

 
 

                   -      двойственная задача на максимум 

б) F(X) =5x₁ + 2x₂

               

 
 

                   -      двойственная задача на минимум 
 

5. Определим решение двойственной задачи.

а)  

в точке   А(1;4)

По теореме  двойственности: .

     Так как х₁, х₂ > 0, то систему ограничений двойственной задачи можно записать в виде равенств: 

Подставим координаты точки А в систему ограничений исходной задачи:

        =>                    =>  

Тогда система ограничений двойственной задачи примет вид: 
 
 
 
 
 
 
 

     Получим точку: (), тогда . 

б)

   

     в точке    C().

По теореме  двойственности: .

     Так как х₁, х₂ > 0, то систему ограничений двойственной задачи можно записать в виде равенств: 

Подставим координаты точки C в систему ограничений исходной задачи:

        =>                    =>  

Тогда система ограничений двойственной задачи примет вид: 
 
 
 

     Получим точку: (0;0;), тогда  

     Ответ:  
в точке (1;4).

    в точке   ().

  в точке (0;0;).

  в точке (0;0) 
 

Задание 3.

     Маркетинговая служба компании провела  выборочное исследование цены на товар А на рынках и в магазинах города. Цена 3,9 тыс.  рублей встретилась 5 раз, цена 4 тыс.  руб. – 8 раза, цена 4,1 тыс. руб. – 10 раз, а цена 4,2 тыс. руб. – 6 раз.

1. Найдите статистическую вероятность каждого варианта цены на исследуемый товар и составьте таблицу распределения вероятностей, считая, что цена – это случайная величина.
2. Постройте многоугольник вероятностей полученной случайной величины.
3. Запишите функцию плотности вероятностей и постройте ее график.
4. Найдите математическое ожидание и дисперсию. Опишите смысловые значения полученных чисел.
5. Отец и сын независимо друг от друга одновременно купили товар А. Сколько вариантов такой парной покупки возможно? Все ли эти варианты равновероятны?

Решение:

     Найдем  статистическую вероятность каждого  варианта цены на исследуемый товар  и составим таблицу распределения  вероятностей, считая, что цена –  это случайная величина.

Пусть     Х – случайная величина (цена, тыс. руб.),

               n_i – частота появления случайной величины x_i.

 

,     

p_i – частость появления случайной величины х_i или статистическая вероятность. 
 
 
 
 

     Составим  таблицу распределения вероятностей:

 

     Построим  многоугольник вероятностей полученной случайной величины.

 
 

     Запишем функцию плотности вероятностей и построим ее график. 
 

     Найдем  математическое ожидание и дисперсию. Опишем смысловые значения полученных чисел.

M(X) – математическое ожидание,

D(X) – дисперсия. 
 
 

                                            

                        

                          

     Математическое  ожидание позволяет предсказать среднее значение случайной величины в результате большого числа испытаний. Дисперсия позволяет предсказать среднее отклонение (рассеивание) значений случайной величины относительно математического ожидания.

     Отец  и сын независимо друг от друга  одновременно купили товар А. Сколько вариантов такой парной покупки возможно?