Контрольная работа по "Математике"

МЭСИ  – Контрольная работа №2 – Вариант 24 

Задание 1. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием. 

а)

.

Проверка: . 
 

б)

.

Проверка:

. 
 

в)

Проверка:  

г) .

Разложим  подынтегральную дробь на простейшие:

.

При : .

При : .

При : .

Итак:

 

Проверка: . 

Задание 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Решение.

Координаты точек  пересечения линий находим из системы:

Отсюда: .

Строим чертеж:

Искомая площадь:

(кв.ед.).

Ответ. кв.ед. 

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

.

Данный  интеграл сходится.

 

Задание 4. В течение рабочего дня производительность труда меняется по закону . Сколько продукции будет изготовлено за первый час?

Решение.

Количество  продукции, изготовленное за первые два часа:

(ед.).

Ответ. ед. 

Задание 5. Найти полный дифференциал функции: .

Решение.

Частные производные:

,   .

Полный  дифференциал:

.

Ответ. . 

Задание 6. Исследовать на экстремум функцию:

Решение.

Критические точки находим из системы уравнений:

 

Частные производные второго порядка:   ,   ,   .

Вычисляем:

, , , .

Так как  , то в точке - локальный минимум:

.

Ответ. Локальный минимум: . 

Задание 7.а. Проинтегрировать дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, в отмеченных случаях найти частное решение:

       при

Решение.

Разделим  обе части уравнения на . Заметим, что - решение данного уравнения, т.к. при непосредственной подстановке получаем верное равенство:

.

Но это решение  не подходит под начальное условие.

Итак:

Интегрируем:

Подставляем начальное условие: .

Искомое частное решение: .

Ответ. . 

Задание 7.б. Проинтегрировать однородное дифференциальное уравнение, в отмеченных случаях найти частное решение: .

Решение.

Запишем уравнение  в виде:

,   где  .

Следовательно, это уравнение является однородным.

Замена: . Подставляем:

Разделим обе  части на . Заметим, что - решение данного уравнение, т.к. при непосредственной подстановке получаем верное равенство:

.

Итак:

Интегрируем:

Ответ. , . 
 

Задание 7.в. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения, в отмеченных случаях найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

.

Решение.

Общее решение данного уравнения ищем в виде: . Подставляем:

.     (*)

Функцию находим из условия:

При : . Подставляем в (*), тогда:   .

Отсюда: . Следовательно, - общее решение.

Подставляем начальное  условие: .

Получаем, что  искомое частное решение имеет  вид:

Ответ. . 

Задание 7.г. Найти общее решение уравнения: .

Решение.

Характеристическое  уравнение:

.

Его корни: , следовательно, общее решение однородного уравнения:

.

Частное решение  уравнения  ищем в виде: .

Подставляем:

Отсюда (приравниваем коэффициенты):

,

,

,

.

Итак, общее  решение данного уравнения:

.

Ответ. . 

Задание 8. Исследовать сходимость ряда: .

Решение.

Пусть: . Воспользуемся признаком Коши:

, следовательно, ряд сходится.

Ответ. Сходится.

 

Список  использованных источников 

1. Демидович В.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. —  
   М.: Наука 1977.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнения и задачах. В 2-х ч.: Учеб. пособие для втузов. – М.: Высш. шк., 1997.
3. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: В 3 т. — М.: Высшая школа, 1988.