Контрольная работа по "Математике"

7. Произведение а на число  λ наз. новый вектор λа коллинеарный  вектору а с длинной /λ/^./а/ однонаправленный с вектором а, если λ›0 и противоположный направленному с а, если λ‹0.

8. Умножение вектора на числот  ассоциативно: (λμ)а=λ(μа).

9. Умножение вектора на число  дистрибутивно относительно суммы  векторов λ(а+в)=λа+λв.

10. Произведение вектора на число  дистрибутивно относительно суммы чисел (λ+μ)а=λа+аμ

Вычисление  в координатах.

Теорема 1: При сложениии2 векторов их координаты в одном и том  же базисе складываются.

При умножении вектора на число  на это число умножается каждая координата, происходит всё в одном и том  же базисе.

Теорема 2: Для того что бы 2 вектора  были колинеарны необходимо и достаточно что бы их координаты в одном и том же базисе были пропорциональны.

 

Билет № 15

Ортогональная проекция векторов

(перпендикулярная)

Пусть на плоскости задана прямая l и точка А.

Ортогональной проекцией т. А на прямую l будет т. О.

Если прямая и т. А заданы в  пространстве то ортагональной проекцией  т. А на прямую l наз. т. О- точку пересеченияпрямой с плоскостью перпендикулярной этой прямой. (рис. 1).

Для вектора /АВ/

можно построить ортогональные проекции начала и конца на прямую l. (рис 2).

А′В′ ортогональная проекция в-ра на l. Если прямой 1 задать направление, прямая будет наз. осью.

Замечание: Проекция в-ра на ось = число.

Проекция вектора на прямую = вектор.

Угол между направляющими  2 векторов наз. угол между этими  в-ми, принимает значение от 0⁰ до П.

Ортогональная проекция а  равна  направлению не нулевого в-ра 1 равна длине а умноженного на cos угла между векторами а и 1. (пр. а=/а/ cosφ)

Свойства ортогональных проекций:

1. Проекция суммы равна сумме  проекций.(пр₁(а+в)=пр₁а+пр₁в).

2. Постоянный множитель выносится  за знак проекции.

 

 

Билет №16

Линейная зависимость и независимость векторов.

Σα_τа_τ=1₁а₁+1₂а₂+...+1_na_n - линейная комбинация векторов. В-ры а₁ .... а_n будут линейно зависимы если существует такой набор коэффициентов α₁, ...  α_n, что бы выполнялось следующее условие α₁ а₁+...+ α_n а_n=0 – вектора линейно зависимые. Для того что бы в-ры были линейно зависимы необходимо и достаточно что бы один из них был линейной комбинацией других в-в.

Два в-ра линейно зависимы, если они  колинеарны.

Три вектора линейно зависимы, если они компланарны.

Четыре в-ра всегда линейно зависимы.

 

 

 

Билет №17

Понятие базиса.

а=3i+4j+5k –разложение по базису.

Выделяют три пространства:

- п-во V₁ всех коллинеарных между собой векторов (параллельны некоторой прямой);

- п-во V₂ пространство всех коллинеарных между собой в-ров (т.е парал. нек. плоскости);

- п-во V₃ – п-во всех свободных в-в.

Рассмотрим п-во V₁ – любой ненулевой в-р этого п-ва наз. базисом в V₁ . 

Любые два в-ра этого п-ва будучи коллинеарными линейно зависимы т.е. один из них может быть получен  из другого умножением на число.

Выберем и зафиксируем в  V₁ базис е₁ (любой ненулевой в-р), тогда любой произвольный в-р х этого же пр-ва может быть представлен в виде х=λ е₁ – разложение х по базису е₁. λ- координата в-ра х в этом базисе.

Рассмотрим п-во V₂ – любую упорядоченную пару неколлинеарных в-в в этом п-ве наз. - базисом.

В-р х будучи компланарно-линейно-зависимым: х=λ ₁е₁ +λ₂ е₂ – разложение в-ра в базисе.

Рассмотрим пр-во V₃ любую упорядоченную тройку некомпланарных в-в наз. базисом V₃.

Базисные в-ра и произвольно  выбранный х будут линейно  зависимы: х=λ ₁е₁ +λ₂ е₂+ λ₃ е₃

 

 

Билет №18

Скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение а и в  называется число равное произведению:  аb=/а/^./b/^.cos(a^b)

(a^b)=φ

аb=(a;b)

Для того что бы два в-ра были ортогональными необходимо и достаточно, что бы их скалярное произведение было равно 0.

Следствие: Скалярное произведение ›0, если φ-острый.

   Скалярное произведение  ‹0, если φ-тупой.

Скал.произв. можно выразить через проекции: ab=/a/пр_ab; ab=/b/пр_ba.

Свойства:

1. Скалярное  произведение коммутативно: ab=ba

2. Совместно с умножение на  число скалярное произведение ассоциативно: λab=λ(ab)

3. Скалярное произведение и сложение  в-в дистрибутивно: (a+b)^.c=ac+bc

Величину аа (а на а скалярно), наз. скалярным квадратом а и  обозначается а².

Скалярный квадрат всегда положительный, и равен 0 когда а=0.

Скалярное произведение в-в в Декартовых координатах. Если базис не задан, то он считается ортонормированным.

Приложение  скалярного произведения.

1. Длина в-ра: аа=а² /а/=√х²+у²+z²

2. Расстояние между точками  : /АВ/=(x₂-x₁;y₂-y₁;z₂-z₁)

3. Условие ортогональности в-в: аb=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂=0

4. Угол между в-ми: cos(a^b)=ab\/а/^./b/^.

5. Проекция в-ра на в-р и  на оси координат пр_ba=/a/^.cos(a^b)=/a/*ab\/a/*/b/=ab\/b/

6. Направляющие косинусы: cosα=x₁\/a/

                                                  cosβ=y₁\/а/

cosγ=z₁\/a/

7. Деление отрезка в данном  отношении: x=x₁+λx₂\1+λ

  y=y₁+λy₂\1+λ                                                   z=z₁+λz₂\1+λ

Если λ‹0, то точка М лежит  за пределами отрезка М₁М₂.

Если λ=0, то точка М совпадает  с точкой М₁.

 

                

Билет №19

Векторное произведение векторов. Свойства.

Т.к . любые 3 некомпланарных в-ра образуют в пространстве V₃ базис, то выделяют два класса базисов: правые, левые.

Векторным произведением в-в а  и в называется такой в-р с, который удовлетворяет след. усл-ям:

1. с ортогонален а и в

2. /с/=/а/*/в/*sin(a^b)

3. Упорядоченная тройка в-в является  правой, ахb=c, [a,b].

Геометрические  свойства:

1. Для того что бы 2 в-ра были  коллинеарны необходимо и достаточно, что бы векторное произведение  равнялось нуль-в-ру.

2. Если а и в неколлинеарны, то модули их векторного произведения равен площади параллелограмма построенного на этих в-рах, как на смежных сторонах.

3. Если не нулевые в-ра а  и в ортогональны, то для геометр.  построения в-ра с достаточно  совместить их начала и в плоскости перпендикулярной в-ру в повернуть в-ра а на 90⁰ вокруг в по ходу часовой стрелки и умножить повернутый в-р на модуль-в-р.

4. Пусть плос-ть П перпендикулярна в, тогда векторное произведение будет равно проекции векторного произведения на плоскость П.

Алгебраические  свойства:

1. Свойство антикомутативности: ахв=-вха

2. Свойство ассоциативности совместно  с умножением на число: (λа)хв=λ(ахв)

3. Свойство дистрибутивности относительно  сложения в-в: (а+в)хс=ахс+вхс

Векторное произведение в ортонормированном базисе.

Рассмотрим правый ортонормированный  базис i, j, k. Возможны векторные произведения пар орт можно записать следующим образом: ixj=k; jxk=i;  kxi=j;  kxj=-i;  jxi=-k;  ixk=-j.

Рассмотрим в-ра а и в в  ортонормированном базисе: а(x_a,y_a,z_a), b(x_b,y_b,z_b).

Тогда имеет место разложение в-ра по базису: a=x_ai+y_aj+z_ak     b=x_bi+y_bj+z_bk

ахв=  i    j    k

          x_a  y_a  z_a

          x_b  y_b  z_b

 

 

Билет №20

Смешанное произведение векторов, его свойства.

Смешанное произведение трех в-в а,в  и с называется число равное скалярному произведению векторного произведения двух прямых в-в и третьего в-ра: а*в*с=/ахв/*с, где с – число.

Геометрический смысл: смешанное  произведение трех некомпланарных в-ров  а, в и с равно объему параллелепипеда, построенного на этих в-рах, как на ребрах выходящих из одной вершины взятых со знаком

 «+» - если тройка правая, «-»  - если тройка левая.

Свойства смещенного произведения:

1. Для смещенного произведения действует правило циклической перестановки:

(ахв)с=(вхс)а=(сха)в=-(вха)с=-(схв)а=-(ахс)в

Замечание: авс=а(вхс)=(ахв)с

2. Три в-ра компланарны, когда  их смещенное произведение равно  нулю.

3. Свойство ассоциативности умножения  смешенног7опроизведения на число:  λавс=λ(авс)

4. Свойства дистрибутивности: (а₁+а₂)вс=а₁вс+а₂вс.

Смещенное произведение в ортонормированном базисе: Пусть а, в и с заданы своими координатами в ортонормированном базисе. Для вычисления смещенного произведения воспользуемся выведенной формулой для нахождения векторного произведения: авс=а(вхс) =      x_a   y_a  z_a

x_b   y_b   z_b      

x_c   y_c   z_c

 

 

 

Билет №21

Прямые на плоскости. Алгебраические кривые 1 порядка

Ах+Ву+С=0 – линейное ур-е.

Теорема 1: Любая прямая на плоскости  представляет собой алгебраическую кривую 1 порядка, и любая алг. кривая 1 порядка на плоскости есть прямая.

Общее ур-е прямой Ах+Ву+С=0;  АВ –  координаты нормального в-ра n к прямой.

1. Если в общем ур-и С=0, прямая  имеет вид Ах+Ву =0 – это означает  что прямая проходит через  начало координат.

2. Если В=0, то ур-е имеет вид  Ах+С=0, прямая параллельна OY.

3. Если А=0, то прямая параллельна  OX.

 

Билет №22

Прямая на плоскости 

Общее ур-е прямой Ах+Ву+С=0 

С угловым коэф-том  у-у₀\х-х₀=tgα

у=Кх+в; у-у₀=К(х-х₀) К=-А\В

Ур-е прямой на плоскости 

х=х₀+tl      параметрическое

у=у₀+tm    уравнение

Векторное r=r₀+tp

Каноническое х-х₀\l=у-у₀\m

Через 2 точки  х-х₁\х₂-х₁=у-у₁\у₂-у₁

В отрезках х\а+у\в=1

Нормальное x*cosα+y*cosβ-p=0

Ах+Ву+С\±√А²+В²=0

Угол между прямыми через 

угловой коэф-т tgα=К₁+К₂\1+К₂*К₁

 

 

Билет №23

Угол между  двумя прямыми.

Фиксируем на плоскости прямоугольную систему координат. Две прямые на плоскости могут быть параллельны или могут пересекаться, как ведут себя прямые можно установить анализируя ур-я этих прямых.

Ax+By+C=0 – общее ур-е прямой.

1. Для параллельных прямых необходимо  и достаточно что бы были коллинеарны их нормальные в-ра.

2. Для ортогональных прямых необходимо  и достаточно что бы скалярное  произведение в-в было равно  0.

А₁А₂+В₁В₂=0 – условие ортогональности двух прямых. Условие параллельности и перпендикулярности можно записать через угловые коэффициенты: К=-А\В

а) К₁=К₂ – условие параллельности.

б) К₁К₂=-1 – условие перпендикулярности.

3. Две прямые пересекаясь образуют  смежные углы. Один из этих  углов совпадает с углом  между нормалями прямых.  cos α= А₁А₂+В₁В₂\√А₁²+В₁^2.√А₂²+В₂²

Угол между прямыми через  угловой коэффициент: tg α=К₁+К₂\1+К₂К₁

Расстояние  от точки до прямой:

Р=[Ax+By+C\±√A²+B²]

 

 

Билет №24

Плоскость в  пространстве

Общее ур-е Ах+Ву+Сz+D=0

Векторное: n(r-r₀)=0;

r-радиус-в-р, n-ненулевой в-р

Параметрическое: r=r₀+t₁e₁+t₂e₂

Через 3 точки:

     x-x₁   y-y₁   z-z₁

     x₂-x₁  y₂-y₁ z₂-z₁    =0

     x₃-x₁  y₃-y₁  z₃-z₁

Нормальное:

Ах+Ву+Сz+D\±√А²+В²+C²=0

В отрезках х\а+у\в+z\c=1

Угол между плоскостями:

cosφ=n₁*n₂\[n₁]*[n₂]

Алгебраические  поверхности 1 порядка.

Теорема: Любая плоскость в пространстве является поверхностью 1 порядка и любая пов-ть 1 порядка является плоскостью.

 

Билет №25

Плоскость в  пространстве

Общее ур-е Ах+Ву+Сz+D=0

Векторное: n(r-r₀)=0;

r-радиус-в-р, n-ненулевой в-р

Параметрическое: r=r₀+t₁e₁+t₂e₂

Через 3 точки:

     x-x₁   y-y₁   z-z₁

     x₂-x₁  y₂-y₁ z₂-z₁    =0

     x₃-x₁  y₃-y₁  z₃-z₁

Нормальное:

Ах+Ву+Сz+D\±√А²+В²+C²=0

В отрезках х\а+у\в+z\c=1

Угол между  плоскостями:

cosφ=n₁*n₂\[n₁]*[n₂]

 

Билет №26

Прямая в пространстве

Общее ур-е: А1х+В1у+С1z+D1=0 

                     А2х+В2у+С2z+D2=0

Векторное: r=r₀+tS; S-рапр. вектор

Каноническое: х-х₀\l=у-у₀\m=z-z₀\n

Через 2 точки: 

х-х₁\х₂-х₁=у-у₁\у₂-у₁₌z-z₁\z₂-z₁

х=х₀+tl      параметрическое

у=у₀+tm    уравнение

z=z₀+nt

 

Билет №27

Угол между  прямыми в пространстве.

Острый угол между 2 прямыми равен  углу между их направляющими: cosφ=1₁1₂+m₁m₂+n₁n₂\√1₁²+m₁²+n₁²√1₂²+m₂²+n₂²

Для двух прямых в пространстве возможны случаи:

1) Прямые параллельны (не совпадают)

1₁\1₂=m₁\m₂=n₁\n₂

2) Прямые совпадают, то направляющим в-ром будет  параллелен и в-р М₁М₂, т.е М₂будет принадлежать пространству 1₁: х₂-х₁\1₁=у₂-у₁\m₁=z₂-z₁\n₁

3) Пересекаются, то направляю-щие в-ры не коллинеарны и условие 1) нарушено.