Контрольная работа по "Математике"

Задача 1. Дано уравнение f(x)=0 (1). Требуется:

1. Отделить корень.

2. Найти этот  корень, применив метод простой  итерации и метод Ньютона (для  вариантов 1-5), метод половинного  деления и метод хорд (для вариантов  6-10). Сравнить результаты.

№ варианта	f(x)
3	(1-x)/x-3cos(4x)

 

Решение

1.Один из способов отделить корень, т.е. найти отрезок, где этот корень единственный, построить график функции y=f(x), если решается уравнение f(x)=0. Построим графики функций (1-x)/x и 3cos(4x) и найдем отрезок, на котором находится точка их пересечения.

При масштабировании  можно заметить что эта точка  находится в интервале [1,1;1,2]. Вычислим значения функции на концах отрезка

F(1,1) = (1-1,1)/1,1- 3cos(4,4)=-1,0128

F(1,2) = (1-1,2)/1,2- 3cos(4,8)=0,0958

Так как функция  принимает на концах отрезка значения с разными знаками, то на этом интервале имеется по крайней мере один корень.

Производная F^'(x)=-1/x^2+12sin4x в промежутке 4,4≤4x≤4,8 отрицательна (F^'(1,1)=-12,2456, F^'(1,2)=-12,6483), а, значит, корень уравнения на отрезке [1,1;1,2]- единственный.

 

2.Применим метод простой итерации.

Исходное уравнение  можно привести к итерационному  виду несколькими способами. Запишем уравнение в эквивалентной форме:

x=x-m((1-x)/x- 3cos(4x)),

это значит f(x)= x-m((1-x)/x- 3cos(4x)),f^'(x)=1-m(-1/x^2+12sin4x).

f(1,1)= 1,1-1,0128m

f(1,2)= 1,2+0,0958m

Учитывая монотонность функции f(x), легко заметить, что второе из достаточных условий сходимости выполняется, если m – правильная отрицательная дробь. Проверим еще одно условие сходимости. Функция F^'(x)=-1/x^2+12sin4x в рассматриваемом промежутке отрицательна и убывает, значит, максимум ее модуля достигается на правом конце промежутка,  

|F^'(1,2)|=|-12,6483|=12,6483.

Если принять  число m=-1/|F^'(1,2)|≈-0,079, то для всех х отрезка [1,1;1,2] значение m(-1/x^2+12sin4x) будет правильной положительной дробью.

Учитывая, что max |1+0,079(-1/x^2+12sin4x) |≈0,0008≈0,001

Можно принять q=0,001.

Таким образом, уравнение  принимает вид

x= x+0,079((1-x)/x- 3cos(4x)).

 

При использовании метода простой итерации, т.е. X_n+1=f(x_n) следует иметь в виду два обстоятельства:

1) все значения f(x_n) должны принадлежать отрезку [a,b],

2) для сходимости метода  необходимо, чтобы выполнялось условие |f^'(x)|<q, где 0  < q<1.

Приняв точность за 0,0001 и используя алгоритм

найдем корень уравнения.

 

а=0,0001(1-0,001)/ 0,001=0,0999.

Пусть x0=1,15.

y= 1,15+0,079((1-1,15)/1,15- 3cos(4*1,15))

p=1,15-(1,15+0,079((1-1,15)/1,15- 3cos(4*1,15)))=-0,01627.

Так как |-0,01627|<0,0999, то x0=1,15 является корнем уравнения.

 

В методе Ньютона формула n+1-го приближения имеет вид:

x_n+1= x_n-f(x_n)/ f^'(x_n).

По формуле  Ньютона y=1,15-((1-1,15)/1,15-3cos(4*1,15))/

/(-1/1,15^2+12sin4*1,15)

Р=1,15-y= ((1-1,15)/1,15- 3cos(4*1,15))/

/(-1/1,15^2+12sin4*1,15)=0,01624

Так как |0,01624|<0,0999, то x0=1,15 является корнем уравнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2. Решение системы линейных алгебраических уравнений АX=B.

Требуется:

1. Найти решение  системы (2) по формуле X=А^-1B.

2. Найти приближенное  решение системы одним из итерационных  методов.

При этом А=D+kC, где D= ,     B= ,

C= , к=3.

Сравнить полученные решения.

 

Решение.

1. Решим СЛАУ: AX=B по формуле  X=A^-1B с использованием EXCEL.

А=

1,372	0,432	-0,599	0,202
0,202	1,372	0,432	-0,599
-0,599	0,202	1,372	0,432
0,432	-0,599	0,202	1,372

 

Запишем СЛАУ:

Найдем Х по формуле X=А^-1B

Х=

0,984984

-0,00175

-0,98498

0,001752

 

2. Решим СЛАУ:

 

методом  простой  итерации. С помощью элементарных преобразований необходимо записать систему с преобладающими диагональными коэффициентами. Данное условие выполнено.

Каждое уравнение  разделим на диагональный элемент и  выразим из этого уравнения диагональное неизвестное:

 

Далее необходимо проверить одно из достаточных условий сходимости. Одно из таких условий: максимальная сумма модулей коэффициентов по столбцам должна быть меньше 1.  Замечаем, что такой будет сумма модулей коэффициентов при всех переменных, равная 0,898688.

Коэффициент сжатия α =0,898688^1/2=0,94799. Если требуется достичь точности ε, то вычисления ведутся до тех пор, пока будет выполнено неравенство:

ρ(x^(k-1),x^(k))≤ ε(1- α)/α,

где  ρ(x^(k-1), x^(k))=

 x^(k-1), x^(k) — последние два приближения.

Если, например, для последней системы положить x⁰=0, т.е. x⁰=(1,0,-1,0), то, подставив эти значения в систему, получим:

x¹=(0,978133,-1Е-06, -0,978133, -1Е-06 ),

ρ(x⁽⁰⁾, x⁽¹⁾)=

Данная величина меньше величины ε(1-α)/α=10^-4(1-0,94799)/0,94799=

=0,0548*10^-4, поэтому процесс продолжаем.

В столбце A и B находятся  значения х, в столбце C – их разность, в столбце D – квадрат разности, в ячейке D6 – величина ρ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Видим, что на 10 шаге получены значения х =

которые  полностью  совпадают со значениями, полученными в п.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3. Дана функция f(x) на отрезке . Требуется:

1. Вычислить  приближенное значение интеграла  методом Симпсона.

2. Построить  для f(x) интерполяционный многочлен Лагранжа L_n(x) для n=3,4,5,6,7.

3. Используя  L₆(x) вычислить значение  . Сравнить это значение со значением интеграла , вычисленного по формуле Симпсона.

№ варианта	f(x)	a	b
3	e-0,5xcosx	-5	3

 

Решение

1.Рассмотрим, функцию  f(x)= e^-0,5xcosx. Формула Симпсона имеет вид:

≈(Δx/3)(y₀+y_2m+2(y₂+y₄+…y_2m-2)+4(y₁+y₃+…y_2m-1)).

Интервал (a,b) делится на n=2m частей; Δx=(b-a)/2m.

Получаем: x₀=a, x₁=a+Δx, …, x_2m=b;  y₀=f(x₀), y₁= f(x₁),…, y_2m=f(x_2m).

Интервал (-5,3) разбиваем на 8 частей, 2m=8; Δx=1. Тогда x₀=-5, x₁=-4,…,x₁₀=3; y₀=e^(-0,5*5)*cos(-5) и т.д. Вычисления представлены в таблице

 

-5	2,5	12,18249	0,283662	3,455713
-4	2	7,389056	-0,65364	-4,82981
-3	1,5	4,481689	-0,98999	-4,43684
-2	1	2,718282	-0,41615	-1,1312
-1	0,5	1,648721	0,540302	0,890808
0	0	1	1	1
1	-0,5	0,606531	0,540302	0,32771
2	-1	0,367879	-0,41615	-0,15309
3	-1,5	0,22313	-0,98999	-0,2209

 

Вычисляем:  ≈(1/3)( 3,455713-0,2209+2(-4,43684+0,890808+0,32771)

+4(-4,82981-1,1312+1-0,15309))= -7,88608

 

2.Запишем для функции  f(x) интерполяционный  многочлен Лагранжа:

L_n(x)=

.

Пусть n=3, тогда

+ +

 

 

 

 

Построим  многочлен L₆(x).

L₆(x)= 0,007175x⁶+88,72162x⁵+453,20815 x⁴+913,439387 x³ +1,196291x²+

1,79672x-1.

Вычислим теперь искомый интеграл, заменив f(x) на L₆(x); получим

0,007175x⁷/7+88,72162x⁶/6+453,20815 x⁵/5+

+913,439387 x⁴/4+1,196291x³/3+1,79672x²/2-1x|³_-5= -7,890297.

Разность между  значениями  интеграла, вычисленного по формуле Симпсона и по формуле составляет Δ=-7,88608-(-7,890297)=0,004217.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4. Найти приближенное решение задачи Коши

y^'=f(x,y),   y(0)=0

на отрезке  с точностью (10^-4), используя два метода:

1. Метод Эйлера-Коши.

2. Метод Рунге-  Кутта четвертого порядка.

 

№ варианта	f(x,y)
3	cosx/(1+x)-y2/2

 

Решение.

Решим уравнение методом Рунге-Кутта на отрезке [0,1], с шагом h=0,2. Вычислительные формулы метода Рунге-Кутта для уравнения y'=  f(x,y) имеют вид:

y_i+1=y_i+1/6(k₁+2k₂+2k₃+k₄);

где k₁=hf(x,y), k₂=hf(x+h/2,y+k₁/2);

k₃= hf(x+h/2,y+ k₂/2), k₄= hf(x+h,y+k₃) (i=0,1,2,3...).

В нашем случае f(x,y)= cosx/(1+x)-y²/2.

Найдем y₁:

y₁=y₀+1/6(k₁+2k₂+2k₃+k₄);

k₁=hf(x₀,y₀)=0,2(cos x₀/(1+x)- y₀²/2)= 0,2(cos 0/(1+0)-0²/2)=0,2;

k₂=0,2(cos (0+0,1)/(1+0+0,1)-(0+0,1)²/2) =0,17991;

k₃=0,2(cos (0+0,1)/(1+0+0,1)-(0+0,17991/2)²/2) = 0,1801;

k₄=0,2(cos (0+0,2)/(1+0+0,2)-(0+0,1801)²/2) = 0,1601 .

Теперь находим:

y₁=y₀+1/6(k₁+2k₂+2k₃+k₄)=0+1/6(0,2+2*0,17991+2*0,1801+0,1601)=0,18002.

Дальнейшие  вычисления приводятся в таблице

xi	yi	k1	xi+h/2	yi+k1/2	k2	yi+k2/2	k3	xi+h	yi+k3	k4	yi+1
0	0	0,2	0,1	0,1	0,17991	0,08995	0,1801	0,2	0,1801	0,1601	0,18002
0,2	0,18002	0,1601	0,3	0,26007	0,14021	0,25013	0,14072	0,4	0,32074	0,12129	0,32056
0,4	0,32056	0,1213	0,5	0,38121	0,10248	0,3718	0,10319	0,6	0,42375	0,08521	0,42354
0,6	0,42354	0,08523	0,7	0,46615	0,06825	0,45766	0,06904	0,8	0,49257	0,05315	0,49236
0,8	0,49236	0,05317	0,9	0,51895	0,0385	0,51161	0,03926	1	0,53162	0,02577	0,53144
1	0,53144	0,02579	1,1	0,54433	0,01357	0,53822	0,01423	1,2	0,54567	0,00317	0,54553