Контрольная работа по «Теория вероятностей и математическая статистика»

Федеральное агентство по образованию

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ                                           ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ                                                     «ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ» (ОмГТУ)

Кафедра «Прикладная математика и фундаментальная  информатика» 
 
 

ОТЧЕТ К  РАСЧЕТНОЙ РАБОТЕ

по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» 
 
 

Принял:

к.ф.-м.н., доцент каф. ПМиФИ _________________________________ А.М. Семёнов

подпись, дата

Исполнитель:

студент гр. ИТ-219____________________________________________ Д. И. Куянов

подпись, дата 
 
 
 
 

Омск 2011.

      ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ЗАДАНИЕ 1.

НАЙТИ ОЦЕНКИ СРЕДНЕГО И ДИСПЕРСИИ 

      В общем виде математическое ожидание случайной величины рассчитывается по формуле

 (1)

где N —  общее число случайных величин, x_k и p_k — k-я случайная величина и ее вероятность.

      В частном случае, все величины равновероятны  и вероятность каждой величины оценивается как

(2)

      По  условию задачи N = 100.

      Тогда p = 0,01.

      Тогда, применяя формулу (1) получим значение математического ожидания

М (Х) = 0,090994. 

В общем  виде величина дисперсии оценивается  как

(3)

Принимая  во внимание, что значения всех p_k равно р = 0,01, вычисляем по формуле (3) значение дисперсии

  D(X) = 1,094443162 

ЗАДАНИЕ 2.

СГРУППИРОВАТЬ ДАННЫЕ С ТОЧНОСТЬЮ ДО 0,4 С ЦЕНТРОМ  В 0.

НАРИСОВАТЬ  ГИСТОГРАММЫ. 

      Данные  были сгруппированы согласно заданию следующим образом

Гистограммы распределения.

Рисунок 1 — Гистограмма распредерения

ЗАДАНИЕ 3.

НАЙТИ СРЕДНЕЕ  И ДИСПЕРСИИ (СМЕЩЕННЫЕ И НЕСМЕЩЕННЫЕ) ДЛЯ ВЫБОРКИ ПО СГРУППИРОВАННЫМ  ДАННЫМ И СРАВНИТЬ РЕЗУЛЬТАТЫ С ДАННЫМИ  ИЗ ЗАДАЧИ 1

      Немещенную  дисперсию будем вычислять по формуле

 (4)

где N —  общее число испытаний, n — число разных величин, x_i и k_i — соответственно одна из разных величин и число её повторений, M(X) — математическое ожидание дискретной случайной величины.

      Смещенную дисперсию будем вычислять по формуле

 (5)

      Вероятность случайной величины в данном случае будем считать как

(6)

где N —  общее число испытаний, k — число, показывающее сколько раз выпала соответствующая величина.

      Используя формулы (1), (4), (5) и (6), а также данные из таблицы к заданию 2, вычислим математическое ожидание величины, ее смещенную и несмещенную дисперсии.

М(Х) = 0,092

D(X) = 1,1146828283

Dсм(X) = 1,103536

      Сравнение с результатами задания 1 показало, что расхождение между мат. ожиданиями и дисперсиями сгруппированных и не сгруппированных данных практически отсутствует (незначительно).

ЗАДАНИЕ 4.

ПОСТРОИТЬ ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ СРЕДНЕГО И ДИСПЕРСИИ УРОВНЯ 0,99. УКАЗАТЬ  ТАБЛИЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 

      Интервальная  оценка для математического ожидания величины

(7)

где х_в — математическое ожидание, найденное по формуле (1), n — число испытаний, s — квадратный корень из несмещенной дисперсии, t_a — специальный коэффициент, табличное значение, получаемое из числа испытаний и необходимой точности. Для нашего случая (n = 100, а = 0,99) значение равно t_a = 2,627.

      Несмещенная дисперсия по формуле (4) равна D(X) = 1,1055.

Зная, что  М (Х) = 0,090994, s = 1,05143, получим, что с точностью до 0,99 заданная величина математического ожидания находится в интервале [-0,1852; 0,3672].

      Интервальная  оценка для дисперсии

(8)

где S —  квадратный корень из несмещенной дисперсии, q — табличное значение, полученное из числа испытаний и необходимой  точности. Для нашего случая (n = 100, a = 0,99) q = 0,198.

      По  формуле (4), (8) получим, что с точностью  до 0,99 дисперсия находится  в интервале [0,84325; 1,2596]  
 
 
 
 

ЗАДАНИЕ 5.

ВЫЧИСЛИТЬ ВЫБОРОЧНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ КОРЕЛЛЯЦИИ.

ПОЯСНИТЬ  АЛГОРИТМЫ. НАПИСАТЬ УРАВНЕНИЕ РЕГРЕССИИ.

ИЗОБРАЗИТЬ НА РИСУНКЕ 

Входные данные.

 

      Будем считать события одновременного выпадения одной из величин из X и Y равновероятными с вероятностью p = 0,01. Тогда

      Корреляционный  момент будем считать по формуле

(9)

      Коэффициент корреляции рассчитывается как

(10)

      Пользуясь формулами (1), (3), (9) и (10) получили

М(Х) = 0,32385;  D(X) = 0,8607;  s_x = 0,927722;

М(Y) = 0,0059;  D(Y) = 0,6412;  s_y = 0,800771.

m_xy = -0,0378;

r_xy = -0,051

      Уравнение регрессии имеет вид

(11)

Рисунок 2 —  График линейной регрессии