Решение. 

     1). Разделим обе части уравнения  на cosx:

     

Подставляя  вместо у произведение двух функций  y=uv, y'=u'v+uv'

получаем уравнение:  

      (1)

     2). Найдём теперь какую-нибудь функцию  u для которой выполняется равенство

     

     Для этого найдём частное решение  дифференциального уравнения

     

     Если  функции равны, то и неопределённые интегралы от них равны:

     

     Так как нам нужно найти частное  решение, полагаем С=0, т.е. приравниваем первообразные подынтегральных функций:

     ln u= ln cos x ↔ u= cos x.

     3). Подставляя у = cos x в уравнение (1), получим

       

     Так как всякая функция с точностью  до константы равна неопределённому  интегралу от собственной производной, то

     у=u•v =cosx•(2•tgx + C) = cosx• =2•sinx+C•cosx.

     Итак, общее решение дифференциального  уравнения имеет вид  
у=2•sinx+C•cosx.

     4). Для отыскания частного решения  необходимо и достаточно определить  значение неопределённой постоянной  С по начальному условию, данному в задаче. Используя то условие, что у_ч=2 при , получаем равенство:

     2=2•sinπ+C•cosπ; памятуя, что sinπ=0 и cosπ=-1, получаем:

     2=2•0-C;

     Отсюда  С=-2. Подставляя найденное значение неопределённой постоянной, получаем частное решение у_ч.=2(sinx-cosx), удовлетворяющее условию, данному в задаче.

     Ответ: у=2•sinx+C•cosx – общее решение,

     у_ч.=2(sinx-cosx) – частное решение

Задача  8.

     Найти частное решение  дифференциального  уравнения y''–у'–6y =2sin2x–10cos2x, удовлетворяющее начальным условиям у(0)=2,  у'(0) = 3.

     Решение.

     1). Уравнение вида у" + bу' + су =0, где b и с — некоторые числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение у_оo.(x) этого уравнения в зависимости от знака дискриминанта D = b² — 4aс характеристического уравнения  k² + bk + с =0

     В нашем случае характеристическое уравнение: k² —k — 6=0.

     D=1+24=25>0

     Так как D>0 используем формулу у_о._о.=С₁е^αх + С₂е^βх, , где k=α, k=β — два различных действительных корня (α≠β) характеристического уравнения. В нашем случае: α=3, β=-2. Общее решение однородного уравнения: 

     у_oo (х)= С₁е^3х + С₂е^-2х 

     2). Так как правая часть f(х)= 2sin2x–10cos2x и k²+2²≠ k² —k — 6 частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

     у_ч(х) = Аcos2x + Вsin2x + С,

     у'_ч.(x) = -2Аsin2х + 2Вcos2x,

     у"_ч.(х) =-4Аcos2х -4Вsin2x,.

     Подставляя  у = у_ч.(x) в данное в задаче уравнение, получаем:

     -4Аcos2х - 4Вsin2x + 2Аsin2х - 2Вcos2x - 6Аcos2x - 6Вsin2x = 2sin2x–10cos2x 

     cos2х(-4А - 2В - 6А) +sin2x(- 4В + 2А- 6В) = 2sin2x–10cos2x,

     cos2х(-10А - 2В) +sin2x(2А- 10В) = 2sin2x–10cos2x,

     Сравнивая коэффициенты при cos2x и sin2x, находим:

           

     

     Отсюда  у_ч.(x)=cos2x, поэтому так, как у_о._н.(х) = у_oo (х) + у_ч.(x), общее решение неоднородного уравнения имеет вид у_о._н.(х) = С₁е^3х + С₂е^-2х + cos2x.

     3). Находим частное решение, удовлетворяющее  начальным условиям, данным в  задаче:

     у(0) = 2 → C₁e⁰ + С₂е⁰ + cos 0 = 2 => С₁ • 1 + С₂ • 1 = 1, => С₁ + С₂ = 1,

     у'(x) = 3С₁е^3х -2С₂е^-2х – 2sin2x.

     у'(0) = 3C₁ е⁰ -2C₂ е⁰ -2sin 0= 3 → 3C₁ - 2C₂ - 0= 3 => 3C₁ - 2C₂=3.

     Ответ: у (х) = е^х cos 2x + ½ е^x sin2x + х². 

     

     Следовательно, частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, данным в задаче: у(х) = 1 • е^3х + 0 • е^-2х + cos2x= е^3х + cos2x.

     Ответ: у(х) = е^3х + cos2x.

 

Задача  9.

     Исследовать сходимость ряда  

     Решение.

     Используем  признак Даламбера. Если существует предел , то числовой ряд сходится при q < 1 и расходится при q > 1.

     В нашем случае и . Вычисляем предел:

     

     так как q = ∞ > 1, то ряд расходится. 

Ответ: Так как q > 1, то ряд расходится.

Задача10.

     Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда  

Решение.

     Каждый  степенной ряд  сходится внутри интервала (с —R; с + R), где R≥0 — радиус сходимости, определяемый по формуле . 

     Определяем  радиус сходимости:

Так как с = -2; с–R=–2–1,5=–3,5; с+R==–2+1,5=–0,5, находим интервал сходимости: (–3,5; –0,5).

Исследуем на сходимость в точках x=-3,5 и x=-0,5. При x=-3,5 ряд имеет вид:

При x=-0,5 ряд имеет вид:

.

Поэтому интервал сходится и будет (-3,5;-0,5], R=1,5

Ответ: R = 1,5; (-3,5;-0,5].

 

Использованная  литература

 

1. Высшая  и прикладная математика. Конспект лекций. Часть I. Высшая математика. Выпуск 1. Основы математического анализа. М.: МКУ, 1993.
2. Зайцев М.В., Лавриненко Т.А. Высшая математика. Сборник задач, часть 1. М.: изд. МГУК, 1998.
3. Карасев А. И., Аксютина 3. М., Савельева Т. И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1. М.: Высшая школа, 1982.
4. Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1989.
5. Маркович Э. С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики. М.: Высшая школа, 1972.
6. Минорский В. И. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1986.
7. Шипачев B.C. Задачник по высшей математике. М.: Высшая школа, 1998.