Контрольная работа по "Высшей математике"

1. Решить  систему линейных уравнений по правилу  Крамера и методом Гаусса:

   Решение.

      Сначала попробуем решить систему методом  Крамера. Для этого составим матрицу  системы и столбец свободных  членов:

Чтобы систему можно было решить методом Крамера, необходимо найти определитель матрицы системы, если он не равен нулю, пользоваться данным методом можно.

      Вычисляем по правилу треугольника определитель системы:

Определитель  не равен нулю, поэтому можем пользоваться методом Крамера. Теперь для i-й переменной заменяем i-й столбец на столбец свободных членов, и ищем определители получившихся матриц:

Теперь находим неизвестные:

Ответ. (1; 2; -1) 

     Теперь  воспользуемся методом Гаусса. Составим расширенную матрицу системы:

Теперь будем  приводить эту систему к треугольному виду путем простейших преобразований:

Теперь выполняем  обратный ход метода Гаусса:

Ответ. (1; 2; -1). 
 

2. Даны вершины  А, В, С треугольника АВС. Найти:
1. Периметр треугольника АВС
2. Уравнения всех сторон и их угловые коэффициенты
3. Уравнение медианы АМ.
4. Уравнение высоты СН и ее длину
5. Угол А.

Решение.

      А. Найдем длины всех сторон. Сначала составим направляющие вектора каждой стороны:

      В. Найдем уравнения сторон. Уравнения  будем искать используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору.  В качестве заданного вектора будет направляющий вектор прямой, который уже нашли выше:

      С. Чтобы найти уравнение медианы АМ, нужно сначала найти точку М. Точка М – середина отрезка ВС, находим ее:

      D. Найдем уравнение высоты СН. Чтобы это сделать, возьмем направляющий вектор для прямой ВС, и напишем уравнение СН как уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданном вектору (т.к. это высота):

Теперь, чтобы  найти ее длину, найдем точку Н  пересечения СН и АВ как решение  системы из двух уравнений:

Тогда длина высоты СН:

      Е. Угол А найдем из скалярного произведения векторов :

Изобразим все  это графически

:  

3. Привести  уравнения кривых второго порядка  к каноническому виду, определить геометрический образ и построить кривую.

Решение.

      А.

Выделим полные квадраты:

      Рисуем  график:

      B.

Выделяем полные квадраты:

Рисуем график:

      С.

Выделяем полные квадраты и упрощаем:

Рисуем график:

      E.

Преобразуем:

Рисуем график:

 

4. Даны координаты точек А, В, С, D. Найти:
1. Координаты векторов , записать их разложение по базису .
2. Координаты векторов
3. Площадь основания АВС пирамиды ABCD
4. Объем пирамиды АВСD
5. Длину высоты DO.

     Решение.

1. Записываем координаты векторов:

2. Вычисляем координаты векторов:

      С. Площадь основания АВС можно  найти из векторного произведения:

3. Объем пирамиды найдем из смешанного произведения векторов:

4. Зная объем, и площадь основания можно  найти высоту пирамиды: