Квадратичная функция

Определим основные параметры баллистического движения: время  подъема на максимальную высоту, максимальную высоту, время и дальность полета. Вследствие независимости движений по координатным осям подъем снаряда по вертикали определяется только проекцией начальной скорости на ось Y. В соответствии с формулой , полученной для тела, брошенного вверх с начальной скоростью , время подъема снаряда на максимальную высоту равно

.

Максимальная высота подъема может  быть рассчитана по формуле:

,

если  подставить вместо :

.

На рисунке 1 сопоставляется вертикальное и криволинейное движение с одинаковой начальной скоростью по оси Y. В любой момент времени тело, брошенное вертикально вверх, и тело, брошенное под углом к горизонту с той же вертикальной проекцией скорости, движутся по оси Y синхронно.

так как парабола симметрична относительно вершины, то время полета снаряда в 2 раза больше времени его подъема на максимальную высоту:

.

Подставляя время полета в закон  движения по оси X, получаем максимальную дальность полета:

.

Так как , то

. (1)

Следовательно, дальность полета тела при одной и той же начальной  скорости зависит от угла, под которым  тело брошено к горизонту (рис.2).

Дальность полета максимальна, когда  максимален  .

Максимальное значение синуса равно  единице при угле , то есть .

В отсутствие сопротивления  воздуха  максимальная дальность полета тела в поле тяжести достигается при  вылете под углом  к горизонту.

При  (навесная траектория) и (настильная траектория) (рис.2) дальность полета одинакова (см. формулу (1)).

 

Баллистическое движение в атмосфере.

Полученные результаты справедливы  для идеализированного случая, когда можно пренебречь сопротивлением воздуха. Реальное движение тел в земной атмосфере происходит по баллистической траектории, существенно отличающейся от параболистической (рис.3) из-за сопротивления воздуха. При увеличении скорости движения тела сила сопротивления воздуха возрастает. Чем больше скорость тела, тем больше отличие баллистической траектории от параболы. При движении снарядов и пуль в воздухе максимальная дальность полета достигается при угле вылета  . Расхождение простейшей теории баллистики с экспериментом не означает, что она верна в принципе. В вакууме или на Луне, где практически нет атмосферы, эта теория дает правильные результаты.

Для лунных условий во всех формулах следует заменить ускорение свободного падения и .

При описании движения тел в атмосфере  учет сопротивления воздуха требует  математического расчета, который  мы не будем приводить из – за громоздкости.

отметим лишь, что расчет баллистической траектории запуска и выведения на требуемую орбиту спутников Земли и их посадки в заданном районе осуществляют с большой точностью мощные компьютерные станции.

Программа на DELPHI

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

unit Unit1;

 

interface

 

uses

  Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

  Dialogs, StdCtrls;

 

type

  TForm1 = class(TForm)

    Button1: TButton;

    Edit1: TEdit;

    Edit2: TEdit;

    Edit3: TEdit;

    Edit4: TEdit;

    Edit5: TEdit;

    Label1: TLabel;

    Label2: TLabel;

    Label3: TLabel;

    Label4: TLabel;

    Label5: TLabel;

    procedure Button1Click(Sender: TObject);

  private

    { Private declarations }

  public

    { Public declarations }

  procedure FormResize(Sender: tobject);

  procedure FormPaint(Sender:TObject);

  end;

 

var

  Form1: TForm1;

  x1,x2,y1,y2,x,y,dx,mx,my,a,e,c,d,x3,x4:real;

  l,b,w,h,x0,y0:integer;

 

implementation

 

{$R *.dfm}

 

Function f(x:real):real;

begin

f:=a*x*x+e*x+c;

end;

 

procedure GrofFunc;

begin

l:=10;

b:=Form1.ClientHeight-20;

h:=Form1.ClientHeight-40;

w:=Form1.Width-40;

x1:=-35;

x2:=25;

dx:=0.01;

y1:=f(x1);

y2:=f(x1);

x:=x1;

repeat

y:=f(x);

if (y<y1) then y1:=y;

if (y>y1) then y2:=y;

x:=x+dx;

until (x>=x2);

my:=h/abs(y2-y1);

mx:=w/abs(x2-x1);

x0:=1;

y0:=b-Abs(Round(y1*my));

with form1.Canvas do begin

 

moveto(x0,y0);Lineto(x0+w,y0);

textout(1+5,b-h,FloattoStrF(y2,ffGeneral,6,3));

textout(1+5,b,FloattoStrF(y1,ffGeneral,6,3));

x:=x1;

repeat

y:=f(x);

Pixels[x0+Round((x-x1)*mx),y0-Round(y*my)]:=clRed;

if (Abs(x)<=0.001) then begin

moveto(x0+round((x-x1)*mx),b);

Lineto(x0+Round((x-x1)*mx),b-h);

end;

x:=x+dx;

until(x>=x2);

 

end;

end;

 

procedure TForm1.FormPaint(Sender:TObject);

begin

GrofFunc;

end;

 

procedure TForm1.FormResize(Sender: tobject);

begin

Form1.Canvas.FillRect(Rect(0,0,ClientWidth,ClientHeight));

GrofFunc;

end;

 

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

begin

a:=StrToFloat(Form1.Edit1.Text);

e:=StrToFloat(Form1.Edit2.Text);

c:=StrToFloat(Form1.Edit3.Text);

d:=e*e-4*a*c;

x3:=-e+sqrt(d)/2*a;

x4:=-e-sqrt(d)/2*a;

Form1.Edit4.Text:=FloatToStr(x3);

Form1.Edit5.Text:=FloatToStr(x4);

GrofFunc;

end;

 

end.