Лемниската Бернулли

Лемниската Бернулли

    Лемнискатой называется  геометрическое место точек М,  произведение расстояний каждой  из которых до двух фиксированных  точек F₁ и F₂ есть величина постоянная.

    Расположим фиксированные  точки (фокусы лемнискаты) F₁ и F₂ на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. Обозначим расстояние между ними F₁ F₂=2а. Тогда эти точки будут иметь координаты F₁ (-а,0), F₂ (а,0). Для произвольной точки лемнискаты М(x,y), по её определению должно выполняться: MF₁ ∙ MF₂=a²  . Используя формулу расстояния между двумя точками d= , получим:

                 = a²  .

    После возведения  правой и левой частей полученного  уравнения в квадрат и упрощений  получим:  (x²+y²)²-2a²(x²-y²)=0.

    Исследовать кривую  по этому уравнению в декартовой  системе координат довольно сложно. Если же перейти к полярным  координатам, то уравнение примет  более простой вид:   (ρ²)²  = 2а² (ρ² cos²φ - ρ² sin²φ)  или ρ² = 2а² cos2φ.

    Итак, полярное  уравнение кривой имеет вид:  ρ² = b² cos 2φ, где 2а²=b² .Так как максимальное значение cos 2φ равно единице, то максимальная величина ρ есть b.

    Если cos 2φ отрицателен, то ρ – мнимая величина. Таким образом, между прямыми, образующими углы 45˚ и 135˚ с полярной осью, нет точек кривой.

    Если вместо φ подставить (-φ), то уравнение не измениться. Отсюда следует, что кривая симметрична относительно полярной оси.

    Если ρ=0, то cos 2φ=0 и φ=45˚ или 135˚, следовательно, кривая проходит через полюс при этих значениях угла.

    Можно также найти область существования этой функции, т.е. множество тех значений аргумента φ , при которых функция имеет вещественное значение: ρ²≥0, а потому должно быть и cos 2φ≥0, откуда     

  - , где к – целое число, или   - .

    Проведя биссектрисы координатных углов, выделим те секторы, в которых кривая существует. Дальнейшее построение кривой выполняется по точкам. Название этой кривой – лемниската происходит от греческого слова повязка, бант.

.                Лемниската Бернулли :

                             r²=2а² cos(2u)

    Лемниската Бернулли используется в качестве переходной линии на закруглениях малого радиуса ( например, на трамвайных путях).