Математические методы исследования операций в экономике

Индивидуальное задание по дисциплине «Математические методы исследования операций в экономике»(Вариант I)

Задача 1

На предприятии имеется возможность  выпуска и видов продукции  Пj (j = 1,2,3). При ее изготовлении используются ресурсы Р₁, Р₂, Р₃. Размеры допустимых затрат ресурсов ограничены соответственно величинами b₁, b₂, b₃. Расход ресурса i-го вида (i = 1,2,3) на единицу продукции j-го вида составляет а_ij единиц. Цена единицы продукции j-го вида равна c_1. Требуется: построить математическую модель процесса и найти план выпуска продукции, обеспечивающий предприятию максимальный доход. Записать двойственную задачу.

b1	b2	b3	a11	a12	a13	a21	a22	a23	a31	a32	a33	С1	С2	С3
150	180	120	2	3	4	3	4	5	3	4	2	80	75	68

 

 

 

Обозначим план выпуска П₁-х₁, П₂-х₂, П₃-х_3.

Составим модель процесса:

2х₁+3х₂+4х₃≤150;

3x₁+4x₂+5x₃≤180;

3x₁+4x₂+2x₃≤120;

x₁≥0, x₂≥0, x₃≥0,

Функция дохода max Z= 80х₁+75x₂+68x_3.

Результат:

Значение функции цели равно  3493. На предприятии необходимо выпускать продукцию п₁ -27 ед., п₃ -20 ед., ресурсы р₂ и р₃ израсходованы полностью, ресурс р₁ недоиспользован.

 

Составим двойственную задачу:

2у₁+3у₂+3у₃≥80;

3 у₁+4 у₂+4у₃≥75;

4 у₁+5 у₂+2у₃≥68;

у₁, у₂, у₃≥0

Функция цели min U=150 у₁+180 у₂+120 у_3.

Результат:

План расхода ресурсов равен соответственно (0,5,22), значение целевой ячейки равно 3493.

Анализ решения обеих  задач.

Значения цели в прямой и двойственной задаче совпадают. Ресурс р₁ в прямой задаче не израсходован, а в двойственной соответствует нулевому значению плана; ресурсы р₂ и р₃ израсходованы полностью, в двойственной – это соответствует неотрицательным переменным.

Задача 2

Готовая продукция заводов А_i (i=1,2,3) направляется на склады В_j (j=1,2,3,4). Заводы А_i производят а_i тыс. изделий. Пропускная способность складов В_j за это время характеризуются величинами в_j тыс. изделий. Стоимость перевозки с завода А_i на склад В_j одной тысячи изделий равна С_ij. Требуется составить экономико-математическую модель задач, которая позволила бы найти план перевозки готовой продукции с заводов на склады с минимальными затратами.

Имеем: а₁=250, а₂=150, а₃=400, в₁=100, в₂=500, в₃=100, в₄=300.

Элементы Матрицы удельных затрат

Тип данной задачи – транспортная.

Проверим сбалансированность: 250+150+400=800; 100+500+100+300=1000.

Дисбаланс 1000-800=200.

Введем фиктивного поставщика.

Модель: Min при ограничениях ; .

Результат:

Четвертый склад недополучил 200 единиц продукции.

На первый склад доставлено со второго завода 100 единиц продукции.

На второй склад доставлено 250 единиц с первого завода, 50 единиц со второго завода и 200 единиц с третьего завода.

На третий склад доставлено 100 единиц с третьего завода.

На четвертый склад доставлено 100 единиц с третьего завода.

Затраты на перевозку равны 1850.

Задача 3.

Для производственной функции  f(x₁,x₂)=35,44х₁^0,465+х₂^0,825, где х=(x₁,x₂) - вектор затрат факторов производства и функции издержек производства Z(x₁, x₂)=11x₁+2x₂,где x₁ -основные производственные фонды, x₂ -затраты живого труда, q₁,q₂ – цены соответственно ресурсов x₁,x_2. Требуется построить и исследовать математическую модель:

а) минимизации издержек производства, если достигнутый объем 100000;

б) максимизации выпуска продукции  производства, имеющиеся затраты 5000000.

Модель а) min U=11x₁+2x₂ при ограничении 35,44х₁^0,465 +х₂^0,825≥100000; x₁, x₂≥0.

Модель б) max Z= 35,44х₁^0,465 +х₂^0,825 при ограничении 11x₁+2x₂ ≤5000000; х1, х2≥0

Результаты:

а) Цель – 2285996.

План выпуска – 1066 и 1137134.

б) При данных затратах максимизация выпуска невозможна.

 

Задача 4.

При составлении проекта работ  выделено 6 событий: (0,1,2,3,4,5 ,6), которые связаны работами (i –j ),где i ,j = 0,1,2,3…,5,6 и i ≠ j, например событие 1 связано с событием 2 работой (1-2)

Требуется:

а) Построить сетевой график выполнения проекта.

б) Определить критический путь.

0-1	0-2	0-3	1-2	1-3	1-5	2-4	2-5	2-6	3-4	3-5	4-5	4-6	5-6
8	10	10	8	10	8	8	6	8	11	8	10	6	10

Построим сетевой график

Результат:

план

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

1

0

1

 

В критический путь входят работы

0-1 1-3 3-4 4-5 5-6