Математический Анализ

Математический анализ

Введение 

Если задана функция y(x), то это означает, что любому допустимому  значению х сопоставлено значение у. Но нередко оказывается, что нахождение этого значения очень трудоёмко. Например, у(х) может быть определено как решение сложной задачи, в которой х играет роль параметра или у(х) измеряется в дорогостоящем эксперименте. При этом можно вычислить небольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение функции при большом числе значений аргумента будет практически невозможно. Функция у(х) может участвовать в каких-либо физико-технических или чисто математических расчётах, где её приходится многократно вычислять. В этом случае выгодно заменить функцию у(х) приближённой формулой, то есть подобрать некоторую функцию j(х), которая близка в некотором смысле к у(х) и просто вычисляется. Затем при всех значениях аргумента полагают у(х)»j(х). 

Большая часть классического  численного анализа основывается на приближении многочленами, так как  с ними легко работать. Однако для  многих целей используются и другие классы функций. 

Выбрав узловые  точки и класс приближающих функций, мы должны ещё выбрать одну определённую функцию из этого класса посредством  некоторого критерия — некоторой  меры приближения или «согласия». Прежде чем начать вычисления, мы должны решить также, какую точность мы хотим  иметь в ответе и какой критерий мы изберём для измерения этой точности. 

Всё изложенное можно  сформулировать в виде четырёх вопросов: 

Какие узлы мы будем  использовать? 

Какой класс приближающих функций мы будем использовать? 

Какой критерий согласия мы применим? 

Какую точность мы хотим? 

Существуют 3 класса или группы функций, широко применяемых  в численном анализе. Первая группа включает в себя линейные комбинации функций 1, х, х2, …, хn, что совпадает с классом всех многочленов степени n (или меньше). Второй класс образуют функции cos aix, sin aix. Этот класс имеет отношение к рядам Фурье и интегралу Фурье. Третья группа образуется функциями e-az. Эти функции встречаются в реальных ситуациях. К ним, например, приводят задачи накопления и распада. 

Что касается критерия согласия, то классическим критерием  согласия является «точное совпадение в узловых точках». Этот критерий имеет преимущество простоты теории и выполнения вычислений, но также  неудобство из-за игнорирования шума (погрешности, возникающей при измерении  или вычислении значений в узловых  точках). Другой относительно хороший  критерий — это «наименьшие квадраты». Он означает, что сумма квадратов  отклонений в узловых точках должна быть наименьшей возможной или, другими  словами, минимизирована. Этот критерий использует ошибочную информацию, чтобы  получить некоторое сглаживание  шума. Третий критерий связывается  с именем Чебышева. Основная идея его  состоит в том, чтобы уменьшить  максимальное отклонение до минимума. Очевидно, возможны и другие критерии. 

Более конкретно  ответить на поставленные 4 вопроса  можно лишь исходя из условий и  цели каждой отдельной задачи.

Интерполяция многочленами 

Цель задачи о  приближении (интерполяции): данную функцию  у(х) требуется приблизительно заменить некоторой функцией j(х), свойства которой нам известны так, чтобы отклонение в заданной области было наименьшим. интерполяционные формулы применяются, прежде всего, при замене графически заданной функции аналитической, а также для интерполяции в таблицах.

Методы интерполяции Лагранжа и Ньютона 

Один из подходов к задаче интерполяции — метод  Лагранжа. Основная идея этого метода состоит в том, чтобы прежде всего найти многочлен, который принимает значение 1 в одной узловой точке и 0 во всех других. Легко видеть, сто функция 

является требуемым  многочленом степени n; он равен 1, если x=xj и 0, когда x=xi, i¹j. Многочлен Lj(x)×yj принимает значения yi в i-й узловой точке и равен 0 во всех других узлах. Из этого следует, что есть многочлен степени n, проходящий через n+1 точку (xi, yi). 

Другой подход —  метод Ньютона (метод разделённых  разностей). Этот метод позволяет  получить аппроксимирующие значения функции  без построения в явном виде аппроксимирующего  полинома. В результате получаем формулу  для полинома Pn, аппроксимирующую функцию f(x): 

P(x)=P(x0)+(x-x0)P(x0,x1)+(x-x0)(x-x1)P(x0,x1,x2)+…+ 

(x-x0)(x-x1)…(x-xn)P(x0,x1,…,xn); 

    — разделённая разность 1-го порядка; 

    — разделённая  разность 2-го порядка и т.д. 

Значения Pn(x) в узлах совпадают со значениями f(x) 

Фактически формулы  Лагранжа и Ньютона порождают  один и тот же полином, разница  только в алгоритме его построения.