Математическое моделирование

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования 

Магнитогорский  Государственный Технический Университет

им. Г.И. Носова 

Кафедра И и Ит 
 
 
 
 
 
 

РЕФЕРАТ №2 

по дисциплине

«Информационные технологии для обеспечения жизнедеятельности» 

на тему:

«Математическое моделирование» 
 
 
 

студентки Ушениной Надежды

специальность 280101 (330100)

безопасность  жизнедеятельности

факультет заочный, V курс 
 

проверил  преподаватель

Калугина  О.Б. 
 
 

Магнитогорск

2011

СОДЕРЖАНИЕ 

1. Введение..............................................................................................................3

2. Основные понятия теории моделирования…………………………………..5

3. Этапы и цели компьютерного математического моделирования………….8

4. Принципы моделирования.……………………………...…………………...11

5. Заключение……………………………………………………………………13

6. Список литературы…………………………………………………………...14

 

1. Введение

 

     Абстрактное моделирование с помощью компьютеров - вербальное, информационное, математическое - в наши дни стало одной из информационных технологий, в познавательном плане исключительно мощной. Изучение компьютерного математического моделирования открывает широкие возможности для осознания связи информатики с математикой и другими науками - естественными и социальными.

     Говоря  о математических моделях, имеется в виду сугубо прикладной аспект. В современной математике есть достаточно формализованный подход к понятию «математическая модель». Внутри него вполне допустимо игнорировать вопрос о связи математики с реалиями физического мира. В этом подходе моделями являются, например, система целых чисел, система действительных чисел, евклидова геометрия, алгебраическая группа, топологическое пространство и т.д. К исследованию таких формальных моделей вполне можно подключить компьютеры, но все равно это останется «чистой» математикой.

     Компьютерное  математическое моделирование в  разных своих проявлениях использует практически весь аппарат современной математики.

     С понятием «модель» мы сталкиваемся с  детства. Игрушечный автомобиль, самолет или кораблик для многих были любимыми игрушками, равно как и плюшевый медвежонок или кукла. В развитии ребенка, в процессе познания им окружающего мира, такие игрушки, являющиеся, по существу, моделями реальных объектов, играют важную роль. В подростковом возрасте для многих увлечение авиамоделированием, судомоделированием, собственноручным созданием игрушек, похожих на реальные объекты, оказало влияние на выбор жизненного пути.

     Что же такое модель? Что общего между  игрушечным корабликом и рисунком на экране компьютера, изображающим сложную математическую абстракцию? И все же общее есть: и в том, и в другом случае мы имеем образ реального объекта или явления, «заместителя» некоторого «оригинала», воспроизводящего его с той или иной достоверностью и подробностью. Или то же самое другими словами: модель является представлением объекта в некоторой форме, отличной от формы его реального существования.

     Практически во всех науках о природе, живой и  неживой, об обществе, построение и использование моделей является мощным орудием познания. Реальные объекты и процессы бывают столь многогранны и сложны, что лучшим способом их изучения часто является построение модели, отображающей лишь какую-то грань реальности и потому многократно более простой, чем эта реальность, и исследование вначале этой модели. Многовековой опыт развития науки доказал на практике плодотворность такого подхода.

     В моделировании есть два заметно  разных пути. Модель может быть похожей  копией объекта, выполненной из другого материала, в другом масштабе, с отсутствием ряда деталей. Например, это игрушечный кораблик, самолетик, домик из кубиков и множество других натурных моделей. Модель может, однако, отображать реальность более абстрактно - словесным описанием в свободной форме, описанием, формализованным по каким-то правилам, математическими соотношениями и т.д.

 

     

2. Основные  понятия теории моделирования

 

     В прикладных областях различают следующие  виды абстрактных моделей:

1. традиционное (прежде всего для теоретической физики, а также механики, химии, биологии, ряда других наук) математическое моделирование без какой-либо привязки к техническим средствам информатики;
2. информационные модели и моделирование, имеющие приложения в информационных системах;
3. вербальные (т.е. словесные, текстовые) языковые модели;
4. информационные (компьютерные) технологии.

     Итак, укрупненная классификация абстрактных (идеальных) моделей такова:

1. Вербальные (текстовые) модели. Эти модели используют последовательности предложений на формализованных диалектах естественного языка для описания той или иной области действительности (примерами такого рода моделей являются милицейский протокол, правила дорожного движения).
2. Математические модели - очень широкий класс знаковых моделей (основанных на формальных языках над конечными алфавитами), широко использующих те или иные математические методы. Например, можно рассмотреть математическую модель звезды. Эта модель будет представлять собой сложную систему уравнений, описывающих физические процессы, происходящие в недрах звезды. Математической моделью другого рода являются, например, математические соотношения, позволяющие рассчитать оптимальный (наилучший с экономической точки зрения) план работы какого-либо предприятия.
3. Информационные модели - класс знаковых моделей, описывающих информационные процессы (возникновение, передачу, преобразование и использование информации) в системах самой разнообразной природы.

     Граница между вербальными, математическими  и информационными моделями может  быть проведена весьма условно; вполне возможно считать информационные модели подклассом математических моделей. Однако, в рамках информатики как самостоятельной науки, отделенной от математики, физики, лингвистики и других наук, выделение информационных моделей в отдельный класс является целесообразным.

     Существуют  и иные подходы к классификации  абстрактных моделей; общепринятая точка зрения здесь еще не установилась. В частности, есть тенденция резкого расширения содержания понятия «информационная модель», при котором информационное моделирование включает в себя и вербальные, и математические модели.

     Математическая  модель выражает существенные черты  объекта или процесса языком уравнений и других математических средств. Собственно говоря, сама математика обязана своим существованием тому, что она пытается отразить, т.е. промоделировать, на своем специфическом языке закономерности окружающего мира.

     Путь  математического моделирования  в наше время гораздо более  всеобъемлющ, нежели моделирования натурного. Огромный толчок развитию математического моделирования дало появление ЭВМ, хотя сам метод зародился одновременно с математикой тысячи лет назад.

     Математическое  моделирование как таковое отнюдь не всегда требует компьютерной поддержки. Каждый специалист, профессионально занимающийся математическим моделированием, делает все возможное для аналитического исследования модели. Аналитические решения (т.е. представленные формулами, выражающими результаты исследования через исходные данные) обычно удобнее и информативнее численных. Возможности аналитических методов решения сложных математических задач, однако, очень ограниченны и, как правило, эти методы гораздо сложнее численных. В данной курсовой доминируют численные методы, реализуемые на компьютерах. Это связано с тем, что моделирование здесь рассматривается под углом зрения компьютерных (информационных) технологий. Такой подход несколько сужает возможности метода в целом; его достоинство - некоторое снижение барьера необходимой математической подготовки (хотя, разумеется, и в численные методы при профессиональном занятии математическим моделированием приходится углубляться настолько, что при этом требуется значительное математическое образование). Наконец, понятия «аналитическое решение» и «компьютерное решение» отнюдь не противостоят друг другу, так как все чаще компьютеры при математическом моделировании используются не только для численных расчетов, но и для аналитических преобразований; и результат аналитического исследования математической модели часто выражен столь сложной формулой, что при взгляде на нее не складывается восприятия описываемого ей процесса. Эту формулу (хорошо еще, если просто формулу!) нужно протабулировать, представить графически, проиллюстрировать в динамике, иногда даже озвучить, т.е. проделать то, что называется «визуализацией абстракций» . При этом компьютер - незаменимое техническое средство.

 

3. Этапы и цели компьютерного  математического моделирования

 

     Первый  этап - определение целей моделирования. Основные из них таковы:

     1) модель нужна для того, чтобы  понять как устроен конкретный  объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром (понимание);

     2) модель нужна для того, чтобы  научиться управлять объектом (или  процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (управление);

     3) модель нужна для того, чтобы  прогнозировать прямые и косвенные  последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект (прогнозирование).

     Выработка концепции управления объектом - другая возможная цель моделирования. Какой режим полета самолета выбрать для того, чтобы полет был вполне безопасным и экономически наиболее выгодным? Как составить график выполнения сотен видов работ на строительстве большого объекта, чтобы оно закончилось в максимально короткий срок? Множество таких проблем систематически возникает перед экономистами, конструкторами, учеными.

     Наконец, прогнозирование последствий тех  или иных воздействий на объект может быть как относительно простым делом в несложных физических системах, так и чрезвычайно сложным - на грани выполнимости - в системах биолого-экономических, социальных.

     Составим  список величин, от которых зависит  поведение объекта или ход  процесса, а также тех величин, которые желательно получить в результате моделирования. Обозначим первые (входные) величины через x₁, x₂, ..., x_n; вторые (выходные) через y₁, y₂, ..., y_k.  Символически поведение объекта или процесса можно представить в виде формулы:

     

   ,

     где F_j - те действия, которые следует произвести над входными параметрами, чтобы получить результаты. Хотя запись напоминает о функции, мы здесь используем ее в более широком смысле. Лишь в простейших ситуациях F(x) есть функция в том смысле, который вкладывается в это понятие в учебниках математики чтобы это подчеркнуть, лучше использовать по отношению к  F(x) термин «оператор».

     Важнейшим этапом моделирования является разделение входных параметров по степени важности влияния их изменений на выходные. Такой процесс называется ранжированием (разделением по рангам). От того, насколько умело выделены важнейшие факторы, зависит успех моделирования, быстрота и эффективность достижения цели. Выделить более важные (или, как говорят, значимые) факторы и отсеять менее важные может лишь специалист в той предметной области, к которой относится модель.