Математика эллинистического периода. Теория конических сечений Аполлония

    Изучая  конические сечения как пересечения плоскостей и конусов, древнегреческие математики рассматривали их и как траектории точек на плоскости.

    Эллипс можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек постоянна; параболу – как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки и заданной прямой; гиперболу – как геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек постоянна.

    Эти определения конических сечений  как плоских кривых подсказывают и способ их построения с помощью натянутой нити.

     Эллипс. Если концы нити заданной длины закреплены в точках F₁ и F₂ (рис. 5.3.2), то кривая, описываемая острием карандаша, скользящим по туго натянутой нити, имеет форму эллипса. Точки F₁ и F₂ называются фокусами эллипса, а отрезки V₁V₂ и v₁v₂ между точками пересечения эллипса с осями координат – большой и малой осями. Если точки F₁ и F₂ совпадают, то эллипс превращается в окружность.

    Рисунок 5.3.2.

     Гипербола. При построении гиперболы точка P, острие карандаша, фиксируется на нити, которая свободно скользит по шпенькам, установленным в точках F₁ и F₂, как показано на рисунке 5.3.3, а. Расстояния подобраны так, что отрезок PF₂ превосходит по длине отрезок PF₁ на фиксированную величину, меньшую расстояния F₁F₂. При этом один конец нити проходит под шпеньком F₁ и оба конца нити проходят поверх шпенька F₂. (Острие карандаша не должно скользить по нити, поэтому его нужно закрепить, сделав на нити маленькую петлю и продев в нее острие.) Одну ветвь гиперболы (PV₁Q) мы вычерчиваем, следя за тем, чтобы нить оставалась все время натянутой, и потягивая оба конца нити вниз за точку F₂, а когда точка P окажется ниже отрезка F₁F₂, придерживая нить за оба конца и осторожно отпуская ее. Вторую ветвь гиперболы мы вычерчиваем, предварительно поменяв шпеньки F₁ и F₂.

    Рисунок 5.3.3.

    Ветви гиперболы приближаются к двум прямым, которые пересекаются между ветвями. Эти прямые, называемые асимптотами гиперболы, строятся как показано на рисунке 5.3.3, б. Угловые коэффициенты этих прямых равны  где  – отрезок биссектрисы угла между асимптотами, перпендикулярной отрезку F₂F₁; отрезок v₁v₂ называется сопряженной осью гиперболы, а отрезок V₁V₂ – ее поперечной осью. Таким образом, асимптоты являются диагоналями прямоугольника со сторонами, проходящими через четыре точки v₁, v₂, V₁, V₂ параллельно осям. Чтобы построить этот прямоугольник, необходимо указать местоположение точек v₁ и v₂. Они находятся на одинаковом расстоянии, равном от точки пересечения осей O. Эта формула предполагает построение прямоугольного треугольника с катетами Ov₁ и V₂O и гипотенузой F₂O.

    Если  асимптоты гиперболы взаимно  перпендикулярны, то гипербола называется равнобочной. Две гиперболы, имеющие общие асимптоты, но с переставленными поперечной и сопряженной осями, называются взаимно сопряженными.

     Парабола. Фокусы эллипса и гиперболы были известны еще Аполлонию, но фокус параболы, по-видимому, впервые установил Папп (вторая пол. III в.), определивший эту кривую как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и заданной прямой, которая называется директрисой. Построение параболы с помощью натянутой нити, основанное на определении Паппа, было предложено Исидором Милетским (VI в.).

    Рисунок 5.3.4.

    Расположим  линейку так, чтобы ее край совпал с директрисой  (рис. 5.3.4), и приложим к этому краю катет AC чертежного треугольника ABC. Закрепим один конец нити длиной AB в вершине B треугольника, а другой – в фокусе параболы F. Натянув острием карандаша нить, прижмем острие в переменной точке P к свободному катету AB чертежного треугольника. По мере того, как треугольник будет перемещаться вдоль линейки, точка P будет описывать дугу параболы с фокусом F и директрисой  так как общая длина нити равна AB, отрезок нити прилегает к свободному катету треугольника, и поэтому оставшийся отрезок нити PF должен быть равен оставшейся части катета AB, то есть PA. Точка пересечения V параболы с осью называется вершиной параболы, прямая, проходящая через F и V, – осью параболы. Если через фокус провести прямую, перпендикулярную оси, то отрезок этой прямой, отсекаемый параболой, называется фокальным параметром. Для эллипса и гиперболы фокальный параметр определяется аналогично.

     Выводы

    Конечно, политические и экономические отношения  в стране играют далеко не последнюю  роль. Наука того времени стала принадлежностью придворных, попала в зависимость от библиотек и царских субсидий. Войны, тяжелые налоги, а позднее и римское владычество, выжимавшее из населения все соки – все это положило конец благосостоянию эллинистических стран. К тому же, когда Цезарь попал в Александрии в осаду, большая часть знаменитой библиотеки сгорела. Римские же императоры достаточно прохладно относились к чистой науке. А богатые римляне если и пускали к себе греческих деятелей культуры, то в основном скульпторов, педагогов и историков, но математиков к себе не приглашали.

Но хотя приведенные выше факты и играют не последнюю роль, но объясняют  далеко не все. Собственно говоря они  лишь помогают понять, почему наука  время от времени останавливалась, но не дают объяснения тому, что она в сущности пошла назад и пришла в полный упадок .

Литература

1. Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука: математика древнего Египта, Вавилона и Греции: - М.: Госиздат, 1959. – 459 с.
2. Крыситский В. Шеренга великих математиков: - Варшава: Наша Ксенгарня, 1981.- с.31-34.
3. http://masters.donntu.edu.ua/
4. http://webmath.exponenta.ru/
5. http://www.n-t.org/