Матрицы

МЕЖДУНАРОДНЫЙ ИНСТИТУТ КОМПЬЮТЕРНЫХ                                                                               ТЕХНОЛОГИЙ 
 
 

МАТРИЦЫ.

Понятия. Основные виды. Действия. 
 
 
 
 

                                                                                                       Выполнила                      

                                                                                   Студентка первого курса                                             

                                                                                   группы Мо-101

                                                                                   Ильченко Алена

                                                                                   Александровна  

                                                                                                      Преподаватель

                                                                                   Журавлева Ольга 

                                                                                   Владимировна 
 

2010г.

Содержание 

1. Из истории  матриц.
2. Понятия и примеры матриц.
3. Применение матриц в экономике.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Из  истории матриц 

Впервые матрицы  упоминались ещё в древнем  Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Основным применением матриц – было решение линейных уравнений. Так же, волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц. После развития теории определителей в конце 17-го века, Габриэль Крамер начал свою теорию в 18-ом столетии и опубликовал «правило Крамера» в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился «метод Гаусса». Теория матриц начала своё существование в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу. Термин «матрица» ввел Джеймс Сильвестр в 1850 г. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Понятия и примеры матриц 

Матрицы. Основные определения  и типы матриц

Определение 1. Матрицей A называется любая прямоугольная таблица, составленная из чисел a_ij, которые называют элементами матрицы и обозначается

Заметим, что  элементами матрицы могут быть не только числа. Представим себе, что  вы описываете книги, которые стоят  на вашей книжной полке. Пусть  у вас на полке порядок и  все книги стоят на строго определенных местах. Таблица, которая будет содержать  описание вашей библиотеки (по полкам и следованию книг на полке), тоже будет  матрицей. Но такая матрица будет  не числовой. Другой пример. Вместо чисел  стоят разные функции, объединенные между собой некоторой зависимостью. Полученная таблица также будет  называться матрицей. Иными словами, Матрица, это любая прямоугольная  таблица, составленная из однородных элементов. Здесь и далее мы будем говорить о матрицах, составленных из чисел.

Вместо круглых  скобок для записи матриц применяют  квадратные скобки или прямые двойные  вертикальные линии 

Определение 2. Если в выражении (1) m = n, то говорят о квадратной матрице, а если m n, то о прямоугольной.

В зависимости  от значений m и n различают некоторые  специальные виды матриц:

1. Матрица - строка (или строковая матрица), состоящая из одной строки. Это прямоугольная матрица размером 1 × n.
2. A=(a₁₁  a₁₂  ...  a_n).
3. Матрица - столбец (столбцевая матрица), состоящая только из одного столбца. Это также прямоугольная матрица размером m × 1

4. Матрица, состоящая из одного элемента. A=(a₁₁)_1×1=a₁₁.
5. Нулевая матрица, состоящая из одних нулей, в матричной алгебре играет роль 0, обозначается V.

6. Единичная матрица, состоящая из нулей, кроме  главной диагонали, на которой стоят  единицы. Обозначается E и играет роль единицы в матричной алгебре 

7. Диагональная  матрица, квадратная порядка n, состоящая  из нулей и на главной диагонали  стоят не равные нулю элементы (не обязательно  единицы)

Важнейшей характеристикой  квадратной матрицы является ее определитель или детерминант, который составляется из элементов матрицы и обозначается

Очевидно, что D_E=1; D_V= .

Определение 3. Если detA 0, то матрица A называется невырожденной или не особенной.

Определение 4. Если detA = 0, то матрица A называется вырожденной или особенной.

Определение 5. Две матрицы A и B называются равными и пишут A = B, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны, т.е.

Например, матрицы  и равны, т.к. они равны по размеру и каждый элемент одной матрицы равен соответствующему элементу другой матрицы. А вот матрицы и нельзя назвать равными, хотя детерминанты обеих матриц равны, и размеры матриц одинаковые, но не все элементы , стоящие на одних и тех же местах равны. Матрицы и разные, так как имеют разный размер. Первая матрица имеет размер 2х3, а вторая 3х2. Хотя количество элементов одинаковое – 6 и сами элементы одинаковые 1, 2, 3, 4, 5, 6, но они стоят на разных местах в каждой матрице. А вот матрицы и равны, согласно определению 5.

Определение 6. Если зафиксировать некоторое количество столбцов матрицы A и такое же количество ee строк, тогда элементы, стоящие на пересечении указанных столбцов и строк образуют квадратную матрицу n-го порядка, определитель которой Δk называется минором k–го порядка матрицы A.

Пример. Выписать три минора второго порядка матрицы

Решение.

Матрицы. Ранг матрицы

Определение 7. Если матрица A не нулевая, т.е. существует хотя бы один a_ij элемент матрицы A, отличный от нуля, тогда всегда можно указать натуральное число r такое, что

1. у матрицы A имеется минор r-го порядка, для которого Δ_r 0;
2. всякий минор матрицы A порядка r+1 и выше равен нулю, тогда число r, обладающее указанными свойствами называется рангом матрицы A и обозначается r = RgA.

Из определения 7 вытекает, что

1. ранг любой прямоугольной матрицы не должен быть больше, чем минимальный размер матрицы. Если матрица квадратная, то ранг не может быть больше, чем размер матрицы. Математически это можно выразить так r min(m,n).
2. если все элементы матрицы A равны нулю, т. е. a_ij=0, то ранг этой матрицы тоже будет равен нулю r = RgA = 0.

Понятие ранга  матрицы играет очень важную роль при построении графиков, при нахождении решения системы линейных уравнений, при переходе от одного базиса к  другому, а также широко используется в прикладных исследованиях, особенно при обработке результатов эксперимента, выделения аномалий и количественного  определения качества предоставленной для изучения информации. Об этих и многих других задачах мы будем говорить несколько позже.

Определение 8. Всякий детерминант минора матрицы A, отличный от нуля, размер которого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором. Т.е. иными словами ранг матрицы A это наивысший отличный от нуля минор.

Пример. Найти ранг матрицы

Решение. Так как в этой матрице только в одной строке есть отличные от нуля члены, то RgA=1.

Пример. Найти ранг матрицы

Решение. Для проверки найдем детерминант этой матрицы: detA=7. И так как он отличен от нуля, 7 0, значит, ранг матрицы равен 3, т.е. в матрице нет пропорциональных строк или столбцов. В противном случае detA был бы равен нулю (лекция 1, свойство 3).

Пример. Найти ранг матрицы

Решение. Очевидно, что detA=0, т.к. матрица содержит нулевую строку. Вычеркнем первую строку и второй столбец и найдем определитель полученного минора

следовательно, делаем вывод, что RgA = 2.

Матрицы. Ранг матрицы

Определение 7. Если матрица A не нулевая, т.е. существует хотя бы один a_ij элемент матрицы A, отличный от нуля, тогда всегда можно указать натуральное число r такое, что

1. у матрицы A имеется минор r-го порядка, для которого Δ_r 0;
2. всякий минор матрицы A порядка r+1 и выше равен нулю, тогда число r, обладающее указанными свойствами называется рангом матрицы A и обозначается r = RgA.

Из определения 7 вытекает, что

1. ранг любой прямоугольной матрицы не должен быть больше, чем минимальный размер матрицы. Если матрица квадратная, то ранг не может быть больше, чем размер матрицы. Математически это можно выразить так r min(m,n).
2. если все элементы матрицы A равны нулю, т. е. a_ij=0, то ранг этой матрицы тоже будет равен нулю r = RgA = 0.

Понятие ранга  матрицы играет очень важную роль при построении графиков, при нахождении решения системы линейных уравнений, при переходе от одного базиса к  другому, а также широко используется в прикладных исследованиях, особенно при обработке результатов эксперимента, выделения аномалий и количественного  определения качества предоставленной  для изучения информации. Об этих и  многих других задачах мы будем говорить несколько позже.

Определение 8. Всякий детерминант минора матрицы A, отличный от нуля, размер которого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором. Т.е. иными словами ранг матрицы A это наивысший отличный от нуля минор.

Пример. Найти ранг матрицы

Решение. Так как в этой матрице только в одной строке есть отличные от нуля члены, то RgA=1.

Пример. Найти ранг матрицы

Решение. Для проверки найдем детерминант этой матрицы: detA=7. И так как он отличен от нуля, 7 0, значит, ранг матрицы равен 3, т.е. в матрице нет пропорциональных строк или столбцов. В противном случае detA был бы равен нулю (лекция 1, свойство 3).

Пример. Найти ранг матрицы

Решение. Очевидно, что detA=0, т.к. матрица содержит нулевую строку. Вычеркнем первую строку и второй столбец и найдем определитель полученного минора

следовательно, делаем вывод, что RgA = 2.

Матрицы. Ранг матрицы

Определение 7. Если матрица A не нулевая, т.е. существует хотя бы один a_ij элемент матрицы A, отличный от нуля, тогда всегда можно указать натуральное число r такое, что

1. у матрицы A имеется минор r-го порядка, для которого Δ_r 0;
2. всякий минор матрицы A порядка r+1 и выше равен нулю, тогда число r, обладающее указанными свойствами называется рангом матрицы A и обозначается r = RgA.

Из определения 7 вытекает, что

1. ранг любой прямоугольной матрицы не должен быть больше, чем минимальный размер матрицы. Если матрица квадратная, то ранг не может быть больше, чем размер матрицы. Математически это можно выразить так r min(m,n).
2. если все элементы матрицы A равны нулю, т. е. a_ij=0, то ранг этой матрицы тоже будет равен нулю r = RgA = 0.