Метод интервалов

Методом интервалов (иногда его называют также методом промежутков), называется метод решения неравенств, основанный на исследовании смены знаков функции. Данный метод находит применение в широком круге задач, в частности, при решении линейных неравенств, квадратных неравенств, дробно-линейных неравенств.

В основе метода интервалов

лежат следующие положения:

1. Знак произведения (частного) однозначно определяется знаками сомножителей (делимого и делителя).
2. Знак произведения не изменится (изменится на противоположный), если изменить знак

у четного (нечетного) числа сомножителей.

3. Знак многочлена справа от большего (или единственного) корня совпадает со знаком его старшего коэффициента. В случае отсутствия корней знак многочлена совпадает со

знаком его старшего коэффициента на всей области определения.

4. Если строго возрастающая (убывающая) функция имеет корень, то справа от корня она

 положительна (отрицательна) и при переходе через корень меняет знак.

 

Рассмотрим основную схему решения неравенства вида       

методом интервалов.

1. Найти область определения функции f(x)  .
2. Найти нули функции f(x).
3. На числовую прямую нанести область определения и нули функции. Нули функции разбивают ее область определения на промежутки, в каждом из которых функция сохраняет постоянный знак.
4. Найти знаки функции в полученных промежутках, вычислив значение функции в какой-либо одной точке из каждого промежутка.
5. Записать ответ.

 

Если на интервале (а;в) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак.

Чтобы определить этот знак, достаточно вычислить значение функции f в какой-либо одной точке из каждого интервала.

 

Пусть функция f непрерывна на интервале (а;в) и обращается в нуль в конечном числе точек этого интервала. По свойству непрерывных функций (а;в) разбивается на интервалы, в каждом из которых непрерывная функция f сохраняет постоянный знак.

 

2

 

3