• МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ИНСТИТУТ  ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА (г. КАЗАНЬ)

Кафедра высшей математики

КУРСОВОЙ  ПРОЕКТ

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

НА ТЕМУ:

МЕТОДЫ  ОПТИМИЗАЦИИ

В ЗАДАЧАХ ПЛАНИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВА

 
 
 
 
 

                       Выполнил:

                                           студент группы № 581

                                     дневного отделения

                                                   экономического факультета

                                                                        специальность менеджмент организации

                                                            Хайрутдинова Регина Нафисовна

 

                            Руководитель:

                                                   Кабирова Раиса Гашимовна

 
 
 

Бугульма  – 2009 г.

ПОСТАНОВКА  ЗАДАЧИ

 

      Условия задачи представлены в таблице:

 

      Дополнительная  возможность 1: получение ссуды. 

      То  есть задача формулируется следующим образом:

      Строительная  фирма имеет возможность постройки  двух видов зданий: торговый комплекс или жилой дом. Каждый вид сооружается  в течение года. Для сооружения тысячи «торговых» квадратных метров требуется вложить 13 миллионов рублей, задействовать 7 рабочих и затратить 1 тысячу кубометров стройматериалов. Для сооружения тысячи квадратных метров «жилой» площади требуется вложить 3 миллиона рублей, задействовать 3 рабочих и затратить 1 тысячу кубометров стройматериалов. За каждую тысячу квадратных метров торговых площадей фирма получает доход 21 млн. рублей, а за каждую тысячу кв. жилой площади – 9 млн. рублей. На складах фирмы имеется 180 тысяч кубометров стройматериалов, в штате фирмы 720 рабочих, а собственный капитал фирмы составляет 0 рублей. Кроме того, фирма может взять кредит в банке в размере y млн. руб., при этом в конце года фирма платит за кредит

P(y) = (30– 0,02∙y + 0,000∙1y²) процентов годовых, если сумма кредита                    превышает 50 млн. руб. и (30 – 0,02∙50 + 0,0001∙50²) = процентов годовых, если сумма кредита меньше. 

      Определить  оптимальный план постройки зданий при имеющихся ресурсах и возможностях, стоимость своих стройматериалов  и штатных рабочих уже включена в баланс и дополнительного учета  не требует. 

      РЕШЕНИЕ

      Составим  экономико-математическую модель задачи. Для этого обозначим х₁ – количество тысяч квадратных метров торговых площадей, а х₂ – количество тысяч квадратных метров жилой площади построенных фирмой. Кредит у (в млн. руб.), полученный фирмой в банке может быть любым неотрицательным числом.

      Эта задача является задачей оптимального использования ресурсов. Система  ограничений, получаемая из ограниченности ресурсов, имеет вид:

          7х₁ + 1х₂ ≤  у,

3х₁ + 1х₂ ≤ 720,                                                                                                         (1)

         1х₁ + 3 х₂ ≤ 180,

где справа стоит  количество каждого вида ресурса, которое  не может быть                      превышено в процессе деятельности фирмы. Эти ограничения являются нетривиальными.

        Далее, х₁  и х₂  являются неотрицательными (нельзя построить отрицательное число квадратных метров зданий), что дает нам тривиальное ограничение задачи: 

      х₁ ≥ 0,   х₂ ≥ 0                                                                                                   (2)

      Наконец, функция цели (или целевая функция) представляет собой общую стоимость произведенной продукции, и эта функция в поставленных ограничениях оптимизируется на максимум:

       F = 9х₁ + 9 х₂ – f (y)              max                                                                   (3)

где функция  f (y)  отражает выплаты банку. Она связана с процентной ставкой Р и суммой кредита у следующим соотношением:

        f (y) = (1 +P (y)  ∕ 100) ∙ y

           Согласно условию задачи, получаем:

                        

                                (1 + 0,01 ∙ (0,15 – 0,02 ∙ y + 0,001y²)) ∙ y, при y > 50

                                                                                     ,                                                                  , при у < 50                   (4)                                                                                                              

      Из- за нелинейной функции (4) к данной задаче нельзя применить методы линейного программирования непосредственно. Задача же нелинейного программирования (1)-(4) достаточно сложна.

      Однако  данную проблему можно разбить на два этапа. На первом определяем оптимальный  план следующей задачи линейного  программирования:

        Z = 9х₁ + 9 х₂ - f (y)                 max                                                             (5)                                                               

           13х₁ + 3х₂ ≤  у,

                     7х₁ + 3х₂ ≤ 720,                                                                                            (6)                                                                                                  

          1х₁ + 1 х₂ ≤ 180,

      х₁ ≥ 0,   х₂ ≥ 0,                                                                                                (7)                                                                                          

рассматривая  у как параметр (известную величину). В результате решения задачи (5) - (7) получаем оптимальный план, в котором х₁*, х₂* и Z* зависит от у.

      На  втором этапе решаем задачу нелинейного  программирования. Ищем у* из задачи

F (y) = Z* (y) - f (y)              max,                                                                           (8)                

y ≥ 0.                                                                                                                        (9)

      Задача (8), (9), (4) – одномерная задача, и ее можно легко решить графически с  последующим аналитическим уточнением. 

      ЭТАП 1.

        Для решения задачи симплекс  – методом приведем систему  (5)-(7) к каноническому виду, введя дополнительные балансовые переменные х₃, х₄, х₅, которые означают неиспользованное количество денег, рабочих и стройматериалов соответственно. При этом неравенство (6) преобразуется в уравнения:

            13х₁ + 3х₂ + х₃                 =  у

     7х₁ + 3х₂       + х₄          = 720                                                                    (10)                                                                                                                

      1х₁ + 1х₂           + х₅ = 180

      По  смыслу балансовые переменные здесь  также неотрицательны, поэтому тривиальная  система неравенств   принимает вид:

x _j  ≥ 0   для всех  j = 1,5.                                                                                   (11)

      Введем  балансовые переменные и в целевую  функцию с коэффициентами равными  нулю:

       Z = 21х₁ +9х₂ + 0х₃ +0х₄ + 0х₅                max                                         (12)

       Задача в  форме (12), (10), (11) имеет канонический вид. Соответствующая ей векторная  форма записи будет такова:

      с (21;9;0;0;0);

              13                  3                 1                0               0                у

          Р₁     7      ;     Р₂   3     ;    Р₃    0   ;     Р₄   1  ;    Р₅    0     ;   Р₀   720     .           

                 1                    1                  0              0               1               180

      Здесь векторы  Р₃, Р₄ и Р₅ имеют базисный вид, т.е. являются единичными в одном из компонентов и нулевым во всех остальных компонентах. Их и возьмем в качестве первоначальных базисных векторов. Данная задача является классической задачей оптимального использования ресурсов, и потому в ней всегда имеется возможность выделить первоначальные базисные вектора.

      Составим  первоначальную симплексную таблицу:

Таблица 1.