Методы решения

Исследованиями советских  психологов установлено, что уже  восприятие задачи различно у различных учащихся данного класса. Способный к математике ученик воспринимает и единичные элементы задачи, и комплексы ее взаимосвязанных элементов, и роль каждого элемента в комплексе. Средний ученик воспринимает лишь отдельные элементы задачи. Поэтому при обучении решению задач необходимо специально анализировать с учащимися связь и отношения элементов задачи. Так облегчится выбор приемов переработки условия задачи. При решении задач часто приходится обращаться к памяти. Индивидуальная память способного к математике ученика сохраняет не всю информацию, а преимущественно «обобщенные и свернутые структуры». Сохранение такой информации не загружает мозг избыточной информацией, а запоминаемую позволяет дольше хранить и легче использовать. Обучение обобщениям при решении задач развивает, таким образом, не только мышление, но и память, формирует «обобщенные ассоциации». При непосредственном решении математических задач и обучении их решению необходимо все это учитывать. 2) Обучение мышлению. Эффективность математических задач и упражнений в значительной мере зависит от степени творческой активности учеников при их решении.

Собственно, одно из основных назначений задач и упражнений и  заключается в том, чтобы активизировать мыслительную деятельность учеников на уроке.

Математические задачи должны прежде всего будить мысль учеников, заставлять ее работать, развиваться, совершенствоваться. Говоря об активизации мышления учеников, нельзя забывать, что при решении математических задач учащиеся не только выполняют построения, преобразования и запоминают формулировки, но и обучаются четкому мышлению, умению рассуждать, сопоставлять и противопоставлять факты, находить в них общее и различное, делать правильные умозаключения.

Правильно организованное обучение решению задач приучает к полноценной  аргументации со ссылкой в соответствующих  случаях на аксиомы, введенные определения  и ранее доказанные теоремы. С  целью приучения к достаточно полной и точной аргументации полезно время от времени предлагать учащимся записывать решение задач в два столбца: слева — утверждения, выкладки, вычисления, справа — аргументы, т. е. предложения, подтверждающие правильность высказанных утверждений, выполняемых выкладок и вычислений.

Задачи, активизирующие мыслительную деятельность учащихся. Эффективность учебной деятельности по развитию мышления во многом зависит от степени творческой активности учащихся при решении математических задач. Следовательно, необходимы математические задачи и упражнения, которые бы активизировали мыслительную деятельность школьников. А. Ф. Эсаулов [26] подразделяет задачи на следующие виды:   задачи, рассчитанные на воспроизведение (при их решении опираются на память и внимание); задачи, решение которых приводит к новой, неизвестной до этого мысли, идее; творческие задачи. Активизирует и развивает мышление учащихся решение задач двух последних видов. Рассмотрим некоторые из них.

а)  Задачи   и   упражнения,     включающие   элементы   исследования.    Простейшие исследования  при решении задач следует предлагать уже с первых уроков алгебры и геометрии и даже на уроках математики в IV—V классах. Например:

1.  Существуют ли  числа,  обратные самим себе?  Сколько  таких чисел? Назовите их.

2.При каких значениях  а и b верны: а) равенства б) неравенства

3.   Установите вид  треугольника (классифицируя по  углам), если один из его внутренних  углов: 1) равен сумме двух других; 2) больше ее; 3) меньше ее.

В последующих классах  следует предлагать не только задачи с элементами исследований, но и  задачи, включающие исследование в  качестве обязательной составной части. Такие исследования необходимо включаются в решение многих геометрических задач на построение (как в планиметрии, так и в стереометрии), уравнений и неравенств (особенно тригонометрических, показательных и логарифмических с параметрами) и др. Задачи и упражнения с выполнением некоторых исследований могут найти свое место во всех разделах школьного курса математики, например при изучении действительных чисел в IX классе.

4.   Все десятичные  приближения по недостатку к  действительному числу начиная с некоторого, совпадают. Рациональным или иррациональным является число

И конечно же, исследования находят широкое применение при  изучении функций и их свойств  в курсе алгебры и начал  анализа.

б)  Задачи   на доказательство  (см.   3).) доказывают существенное влияние на развитие мышления учащихся. Именно при выполнении  доказательств  оттачивается  логическое  мышление учеников, разрабатываются логические схемы решения задач, возникает потребность учащихся в обосновании математических фактов.

в)  Задачи    и   упражнения   в   отыскании   ошибок также играют значительную роль в развитии   математического мышления учащихся. Такие задачи приучают обращать внимание на особо тонкие места в логических рассуждениях, помогают различать во многом сходные понятия, приучают к точности суждений и математической строгости и т. д. Первые упражнения в отысканий ошибок должны быть несложными, например:

5. Ученик выполнил  сокращение  дроби  так:   перечеркнул в числителе а в знаменателе _у, написав над букву у затем перечеркнул — 4 и 2, записав над — 4 число — 2.

Правильно ли выполнено сокращение? Объясните.

Задачи в отыскании  ошибок следует постепенно усложнять. К числу таких задач относится и отыскание ошибок, допущенных в известных математических софизмах. Разбор софизмов прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме —значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в других рассуждениях. Разбор софизмов развивает наблюдательность, вдумчивое и критическое отношение к изучаемому, воспитывает у учащихся критичность мышления. Математические софизмы приучают тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей при решении задач, за допустимостью обобщений и т. д.   К тому же разбор софизмов увлекателен. Примеры софизмов:

6.Имеем верное числовое  равенство 16 — 36 = 25 — 45, отсюда

 или

. В чем заключается ошибка?

 

 

§3.  Воспитательная роль математических задач.

 

Процесс обучения теснейшим образом связан с воспитанием учащихся. В советской школе обучение не мыслится в отрыве от воспитания. Обучая решению математических задач, учитель математики в то же время воспитывает учащихся, формирует у них качества, присущие советскому общественному строю.

Но воспитательное воздействие  на учащихся оказывают и сами математические задачи. В п. 1.4 говорилось о воспитательном воздействии фабулы, сюжета задачи. Воспитанию советского патриотизма существенно помогает решение задач, составленных по материалам наших пятилетних планов, сводок и сообщений ЦСУ СССР о выполнении планов развития народного хозяйства.  Такие задачи может составлять и учитель математики.

Возбуждению и развитию интереса к изучению математики способствует решение задач, предваряющих изучение новых математических сведений, создающих проблемную ситуацию. Но интерес к математике поддерживается и с помощью решения увлекательных и занимательных задач, старинных задач и т. д., так что и в проявлении интереса учащихся к математике, в воспитании увлеченных математикой учеников не  последнюю роль   играют математические задачи.

Правильно организованное решение  задач воспитывает у учащихся трудолюбие, особенно при самостоятельном решении задач. При решении задач формируются некоторые навыки умственного труда учащихся: усидчивость, внимательность, сосредоточенность. Решение трудных задач требует от учащихся проявления настойчивости в преодолении трудностей, упорства в достижении целей. При этом воспитывается и развивается чувство долга и ответственности учащегося за приобретение математических знаний, умений и навыков. Решения задач учащиеся записывают в тетради, учитель показывает различные формы записей решения, воспитывая тем самым у ' учащихся аккуратность. Поиск рационального пути решения приучает к аккуратности и лаконичности записей в тетрадях по математике. Этому способствует и по возможности точное выполнение чертежей с помощью различных чертежных инструментов.

2.3. Воспитательная роль  математических задач. Процесс  обучения теснейшим образом связан с воспитанием учащихся. В советской школе обучение не мыслится в отрыве от воспитания. Обучая решению математических задач, учитель математики в то же время воспитывает учащихся, формирует у них качества, присущие советскому общественному строю.

Но воспитательное воздействие  на учащихся оказывают и сами математические задачи. В п. 1.4 говорилось о воспитательном воздействии фабулы, сюжета задачи. Воспитанию советского патриотизма существенно помогает решение задач, составленных по материалам наших пятилетних планов, сводок и сообщений ЦСУ СССР о выполнении планов развития народного хозяйства.  Такие задачи может составлять и учитель математики.

Возбуждению и развитию интереса к изучению математики способствует решение задач, предваряющих изучение новых математических сведений, создающих проблемную ситуацию (см. 2.1). Но интерес к математике поддерживается и с помощью решения увлекательных и занимательных задач, старинных задач и т. д., так что и в проявлении интереса учащихся к математике, в воспитании увлеченных математикой учеников не  последнюю роль   играют математические

задачи.

Правильно организованное решение  задач воспитывает у учащихся трудолюбие, особенно при самостоятельном решении задач. При решении задач формируются некоторые навыки умственного труда учащихся: усидчивость, внимательность, сосредоточенность. Решение трудных задач требует от учащихся проявления настойчивости в преодолении трудностей, упорства в достижении целей. При этом воспитывается и развивается чувство долга и ответственности учащегося за приобретение математических знаний, умений и навыков. Решения задач учащиеся записывают в тетради, учитель показывает различные формы записей решения, воспитывая тем самым у ' учащихся аккуратность. Поиск рационального пути решения приучает к аккуратности и лаконичности записей в тетрадях по математике. Этому способствует и по возможности точное выполнение чертежей с помощью различных чертежных инструментов.

Решение математических задач у  учащихся воспитывает особый математический стиль мышления. По А. Я- Хинчину [24], такой стиль характеризуется  соблюдением формально-логической схемы рассуждений (построение импликаций при доказательстве с использованием правил вывода, соблюдение схемы «анализ—построение — доказательство — исследование» при решении геометрических задач на построение и т. д.), лаконичным выражением мыслей как в словах, так и в записях (чему в немалой степени способствует применение математической символики), четким расчленением хода мышления (уже начиная с решения арифметических задач «по действиям»), точностью применяемой символики. Такой стиль мышления также приучает к аккуратности.

Большую роль играют математические задачи в осуществлении политехнического воспитания. С помощью задач, решаемых на уроках математики, учащиеся знакомятся с ролью математики в других науках. Но нельзя забывать и значение других наук для математики. Задачи других наук, приводящие к новым математическим понятиям, приемам и методам решения, тоже имеют немаловажное значение для политехнического воспитания учащихся.

Политехническому воспитанию способствуют практические задачи, например, такие:

1.  Арка моста имеет  форму дуги параболы (рис. 32). Высота  арки 2 м, а длина стягивающей  ее хорды 24 м. Арка имеет  5 вертикальных стоек, укрепленных  в точках хорды и делящих  эту хорду на части равной  длины. Вычислите длины стоек.

2.   На прямолинейной  железной дороге надо построить  платформу для остановки поездов  так, чтобы сумма расстояний  от платформы до двух населенных  пунктов А и В была наименьшей. Решите задачу с помощью циркуля  и линейки.

Математические задачи имеют  значение и в воспитании диалектико-материалистического  мировоззрения учащихся. Ф. Энгельс  в «Анти-Дюринге» писал: «...математика переменных величин, самый значительный отдел, который составляет исчисление бесконечно малых, есть по своей сущности не что иное, как применение диалектики к математическим отношениям». Таким образом, в воспитании диалектико-материалистического мировоззрения учащихся положительную роль играют некоторые задачи начал анализа, приложений начал анализа в геометрии, физике, астрономии. Задачи о радиоактивном распаде вещества, о росте населения страны приводят к дифференциальному уравнению показательного роста или убывания у'= ky. Это уравнение, являющееся математической моделью явления, схематизирует его. Поэтому модель дает правильные результаты лишь в некоторых пределах, в частности при решении задачи о росте населения лишь при большой численности населения и не слишком малых промежутках времени. За этими пределами, пишет в [81 А. Н. Колмогоров, «...математическая модель теряет реальный смысл и при ее бездумном применении приводит к ошибочным или бессмысленным результатам». В [8] рассматривается и более простой пример о движении подброшенного вверх мяча. В вопросах взаимоотношений «теории и действительности, математической модели и реального мира, — пишет А. Н. Колмогоров, — проявляется глубокая диалектическая взаимосвязь теории и практики». Учитель должен подчеркивать, что математические модели решаемых задач, модели действительности дают нам возможность получать вполне реальное знание о самой действительности, если действовать в пределах применимости модели.

 

Воспитывающий характер обучения математике

 

Воспитание «через обучение» - важный компонент воспитания

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава II. Роль геометрических задач в процессе обучения