Мир фракталов

                                                          Содержание

 

Введение……………………………………………………………………………………….3

1.Понятие фрактала………………………………………………………………………….4

2.История исследований……………………………………………………………………..5

3.Классификация фракталов……………………………………………………………….8

  3.1Геометрические  фракталы……………………………………………………………..8

  3.2Алгебраические  фракталы……………………………………………………………..9

  3.2Стохастические  фракталы…………………………………………………………….11

4.Цвета фракталов…………………………………………………………………………..12

5.Практическое применение  фракталов………………………………………………….13

Заключение…………………………………………………………………………………...14

Список литературы………………………………………………………………………….15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                 

                                                              Введение

 

Когда большинству людей казалось, что геометрия в природе ограничивается такими простыми фигурами, как линия, круг, коническое сечение, многоугольник, сфера, квадратичная поверхность, а  также их комбинациями. К примеру, что может быть красивее утверждения о том, что планеты в нашей солнечной системе движутся вокруг солнца по эллиптическим орбитам? [1]

Однако многие природные системы  настолько сложны и нерегулярны, что использование только знакомых объектов классической геометрии для их моделирования представляется безнадежным. Как к примеру, построить модель горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать то многообразие биологических конфигураций, которое мы наблюдаем в мире растений и животных? Представьте себе всю сложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела. Представьте, как хитроумно устроены легкие и почки, напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной.[3]

Столь же сложной и нерегулярной может быть и динамика реальных природных  систем. Как подступиться к моделированию  каскадных водопадов или турбулентных процессов, определяющих погоду?

       Фракталы --- подходящие средства для исследования поставленных вопросов. Термин фрактал относится к некоторой статичной геометрической конфигурации, такой как мгновенный снимок водопада.[1]

 

 

 

 

 

 

                                            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                      1.Понятие фрактала

         

          Термин  «фрактал» происходит от латинского  «fractus», что буквально переводится  как «поделенный на части, дробленый,  разбитый, состоящий из фрагментов».  На сегодняшний день не существует  единого общепринятого определения фрактала. Чаще всего фракталом называют геометрическую фигуру, которая обладает свойством самоподобия. Это значит, что отдельные части представляют собой уменьшенную копию целой фигуры. При бесконечном уменьшении масштаба структура отдельных фрагментов фрактала повторяется. Противопоставить фракталу можно регулярные геометрические фигуры, такие как окружность или эллипс. Очень маленькие части таких фигур, увеличенные в несколько раз, воспринимаются как фрагменты прямой. Рассмотрение мельчайших подробностей фрактала дает совсем иную картину: изменение масштаба фигуры не приводит к упрощению структуры.[2]

            В более общем понимании фрактал  – это самоподобное множество,  не имеющее целой метрической  размерности. На вопрос, что же  такое дробная размерность, можно ответить конкретным примером. Известно, что площадь квадрата со стороной L равна L ², объем куба – L ³. Это значит, что указанные геометрические фигуры имеют целую размерность, в то время как размерность фрактала – дробная величина. Грубо говоря, фрактал – это что-то «среднее» между линией и плоскостью, между квадратом и кубом, между кругом и сферой. Подсчитано, что размерность кровеносной системы человека составляет порядка 2,7. В диапазоне от 2 до 3 находится размерность, например, облака или клуба дыма. Именно поэтому граница фрактала выглядит не как прямая, а как сложная линия, состоящая из многочисленных завитков и спиралей.[1]

        Классическим  примером фрактального объекта  является наша планета. При  взгляде из космоса Земля воспринимается как шар с ровной поверхностью, а при более близком рассмотрении взгляду открываются все новые и новые более мелкие детали. Сначала видны континенты и океаны, затем становятся заметны рельефы побережий и горных систем. Еще приблизившись к земной поверхности, удастся рассмотреть структуру грунта и камней. Вооружившись микроскопом, можно изучить рельефную поверхность крошечной песчинки. Самое удивительное, что при любом приближении структура природных объектов оказывается одинаково сложной.[2]

        До недавних пор ученые не имели возможности проследить закономерность формирования всех природных неровностей, трещинок и извилин. Все изменилось с появлением фрактала – множества, позволяющего создавать высокоточные модели самых сложных объектов, систем, процессов и явлений. Знакомая со школьной скамьи геометрия, оперирующая сферами, конусами, окружностями, линиями, плоскостями, не способна в мельчайших деталях описать форму облаков, гор, морской глади, молний, морозных рисунков на стекле или деревьев. Но фрактальной геометрии это под силу – она способна систематизировать сложные закономерности, по которым создавались удивительные природные формы. Принципы фрактальной геометрии прослеживаются в самых разнообразных объектах – от микроскопической клеточной мембраны до гигантской Вселенной. На основе этого множества можно смоделировать самые разнообразные динамические процессы и явления, происходящие вокруг нас. Для этого достаточно лишь задать несколько нужных коэффициентов и подставить их в соответствующую несложную формулу, а остальную работу сделает компьютер.[4]

 

 

 

 

 

 

                                     2. История исследований

       

          Первые идеи о фракталах были сформулированы в конце XIX – в начале XX столетия. Ученые создавали удивительные объекты, сами тогда не подозревая, что работают с геометрическими фракталами. Намного позже таким термином был назван фрактал, образованный путем несложных построений, суть которых заключается в следующем. За основу принимается какая-либо фигура, или так называемый инициатор, каждая часть которого преобразовывается по определенному принципу. Так простой геометрический объект постепенно становится все более сложным. Предположим, что такое преобразование производится бесконечное количество раз – именно так формируется геометрический фрактал, в некоторых источниках называемый линейным, детерминированным или классическим. Геометрический фрактал, в отличие от более сложных аналогов, проявляет свойство самоподобия абсолютно на всех уровнях.  
Независимо друг от друга математики из разных стран занимались исследованием геометрических фракталов. В 1883 году немецкий математик Георг Кантор создал простейший фрактал – так называемое «Канторово множество». Алгоритм его формирования очень прост – отрезок прямой делится на три части, после чего удаляется средняя треть. Оставшиеся два фрагмента отрезка делятся на части по аналогичному принципу. Неоднократное повторение этой процедуры позволяет получить одно из самых простых фрактальных множеств. При любом увеличении Канторово множество остается самоподобным.[2] 
 
                                                         Канторово множество

 

         В 1890 году итальянский математик Джузеппе Пеано создал уникальную бесконечную кривую, заполняющую плоскость внутри квадрата.             Кривая Пеано

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         Немецкий математик Давид Гильберт по-своему интерпретировал кривую Пеано и создал свое фрактальное множество.

    Кривая Гильберта

          В 1904 году шведский математик Хельге фон Кох, взяв за основу обычный треугольник, построил так называемую «снежинку Коха».

Кривая Коха

 

                                       

         В 1915 году польский математик Вацлав Серпинский, взяв за основу множество Кантора, создал два двухмерных фрактальных множества, которые получили название «ковер Серпинского» и «треугольник Серпинского».

Ковер Серпинского

 

Еще одна разновидность геометрических фракталов – дерево Пифагора, построенное  в середине XX века математиком А. Босманом.

 

 

                                           3.Классификация фракталов

 

         Для чтобы  представить все многообразие  фракталов удобно прибегнуть  к их общепринятой классификации.[3]

        3.1Геометрические фракталы

        Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал. [3]

 Построение триадной кривой  Кох. 

         Рассмотрим один из таких фрактальных объектов - триадную кривую Кох. Построение кривой начинается с отрезка единичной длины  - это 0-е поколение кривой Кох. Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент, через n=1. В результате такой замены получается следующее поколение кривой Кох. В 1-ом поколении - это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/3. Для получения 3-го поколения проделываются те же действия - каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Кривая n-го поколения при любом конечном n называется предфракталом. На рисунке представлены пять поколений кривой. При n стремящемся к бесконечности кривая Кох становится фрактальным обьектом. [4]

 
Построение "дракона" Хартера-Хейтуэя.

        Для получения другого фрактального объекта нужно изменить правила построения. Пусть образующим элементом будут два равных отрезка, соединенных под прямым углом. В нулевом поколении заменим единичный отрезок на этот образующий элемент так, чтобы угол был сверху. Можно сказать, что при такой замене происходит смещение середины звена. При построении следующих поколений выполняется правило: самое первое слева звено заменяется на образующий элемент так, чтобы середина звена смещалась влево от направления движения, а при замене следующих звеньев, направления смещения середин отрезков должны чередоваться. На рисунке представлены несколько первых поколений и 11-е поколение кривой, построенной по вышеописанному принципу. Предельная фрактальная кривая (при n стремящемся к бесконечности) называется драконом Хартера-Хейтуэя .[2]

 В машинной графике использование геометрических фракталов необходимо при получении изображений деревьев, кустов, береговой линии. Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур (рисунка на поверхности обьекта). [1]

         3.2Алгебраические фракталы

         Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоватся терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д. [4]

        Известно, что нелинейные динамические системы обладают несолькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят - аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры. [4]

 
Множество Мандельброта.

        В качестве примера рассмотрим множество Мандельброта.Алгоритм его построения достаточно прост и основан на простом итеративном выражении: