ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЛЕСНОГО ХОЗЯЙСТВА РФ

ФБОУ  СПО «ДИВНОГОРСКИЙ ЛЕСХОЗ – ТЕХНИКУМ»

КАБИНЕТ МАТЕМАТИКИ 
 
 
 
 

ОТЧЁТ 
 

ПО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ  РАБОТЕ №

ПО ТЕМЕ «НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ» 
 
 
 
 

Выполнил:

Студент 1 курса  гр. 11Б-Л Кардапольцев А.О. 

Проверил:

Преподаватель: Коновалова Е.Г. 
 

Оценка:

Оглавление. 

Введение - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -   3

Непрерывная дробь-  - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4

Разложение  в цепную дробь - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5

Приближение вещественных чисел рациональными - - 6

Историческая  справка - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -  7

     Заключение - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -  8 

     Библиографический  список - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Введение 

      Целью моей исследовательской работы является исследование теории цепных дробей. В  ней я попытаюсь раскрыть свойства подходящих дробей, особенности разложения действительных чисел в неправильные дроби, погрешности, которые возникают в результате этого разложения, и применение теории цепных дробей для решения ряда алгебраических задач.

      Цепные  дроби были введены в 1572 году итальянским  математиком Бомбелли. Современное  обозначение непрерывных дробей встречается у итальянского математика Катальди в 1613 году. Величайший математик XVIII века Леонардо Эйлер первый изложил теорию цепных дробей, поставил вопрос об их использовании для решения дифференциальных уравнений, применил их к разложению функций, представлению бесконечных произведений, дал важное их обобщение.

      Работы  Эйлера по теории цепных дробей были продолжены М. Софроновым (1729-1760), академиком В.М. Висковатым (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и др. Многие важные результаты этой теории принадлежат французскому математику Лагранжу, который нашел метод приближенного решения с помощью цепных дробей дифференциальных уравнений. 
 
 
 
 

Непрерывная дробь

 

Цепная дробь (или непрерывная дробь) — это математическое выражение вида 
 

 

где a₀ есть целое число и все остальные a_n натуральные числа (то есть неотрицательные целые). Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально. Число представляется периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью. 
 
 
 
 
 
 

Разложение в цепную дробь

Любое вещественное число x может быть представлено (конечной или бесконечной) цепной дробью     где 
 

                  

 

 

 

где   обозначает целую часть числа x.

Для рационального числа x это разложение оборвётся по достижении нулевого x_n  для некоторого n. В этом случае x представляется конечной цепной дробью

Для иррационального x все величины x_n будут ненулевыми и процесс разложения можно продолжать бесконечно. В этом случае x представляется бесконечной цепной дробью   
 
 
 
 
 
 
 
 

Приближение вещественных чисел рациональными

 

Цепные дроби позволяют эффективно находить хорошие рациональные приближения вещественных чисел. А именно, если вещественное число x разложить в цепную дробь, то её подходящие дроби будут удовлетворять неравенству:   

 

Отсюда, в частности, следует:

1) подходящая дробь     является наилучшим приближением     

для x среди всех дробей, знаменатель которых не превосходит q_n;

2) мера иррациональности любого иррационального числа не меньше 2.

Примеры

1) Разложим число π=3,14159265… в непрерывную дробь и подсчитаем его подходящие дроби: 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, … 

Вторая дробь (22/7) —  это известное Архимедово приближение. Четвёртая (355/113) была впервые получена в Древнем Китае.

2) В теории музыки  требуется отыскать рациональное приближение для

 

Третья подходящая дробь: 7/12 позволяет обосновать классическое деление октавы на 12 полутонов. 
 
 
 

Историческая справка

Античные математики умели представлять отношения несоизмеримых величин в виде цепочки последовательных подходящих отношений, получая эту цепочку с помощью алгоритма Евклида. По-видимому, именно таким путём Архимед получил приближение:

  — это 12-я подходящая дробь для

или   от 4-й подходящей дроби для .

В V веке индийский математик Ариабхата применял аналогичный «метод измельчения» для решения неопределённых уравнений первой и второй степени. С помощью этой же техники было, вероятно, получено известное приближение для числа π (355/113). В XVI веке Рафаэль Бомбелли извлекал с помощью цепных дробей квадратные корни (см. его алгоритм).

Начало современной  теории цепных дробей положил в 1613 году Пьетро Антонио Катальди. Он отметил основное их свойство (положение между подходящими дробями) и ввёл обозначение, напоминающее современное. Позднее его теорию расширил Джон Валлис, который и предложил термин «непрерывная дробь». Эквивалентный термин «цепная дробь» появился в конце XVIII века.

Применялись эти дроби  в первую очередь для рационального  приближения вещественных чисел; например, Христиан Гюйгенс использовал их для проектирования зубчатых колёс своего планетария. Гюйгенс уже знал, что подходящие дроби всегда несократимы и что они представляют наилучшее рациональное приближение.

В XVIII веке теорию цепных дробей в общих чертах завершили Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж. 
 
 
 
 
 
 
 

      Заключение

      Данная  исследовательская работа показывает значение цепных дробей в математике.

      Их  можно успешно применить к решению неопределенных уравнений вида

      ax+by=c.

      Основная  трудность при решении таких  уравнений состоит в том, чтобы  найти какое-нибудь его частное  решение. Так вот, с помощью цепных дробей можно указать алгоритм для  разыскания такого частного решения.

      Цепные  дроби можно применить и к  решению более сложных неопределенных уравнений, например, так называемого  уравнения Пелля:

       ( ).

      Бесконечные цепные дроби могут быть использованы для решения алгебраических и  трансцендентных уравнений, для быстрого вычисления значений отдельных функций.

      В настоящее время цепные дроби  находят все большее применение в вычислительной технике, ибо позволяют  строить эффективные алгоритмы  для решения ряда задач на ЭВМ. 
 

Библиографический список:

http://ru.wikipedia.org

1. Алгебра и теория чисел. Под редакцией Н.Я. Виленкина, М, “Просвещение”, 84.
2. И.М. Виноградов. Основы теории чисел. М, “Наука”, 72.
3. А.А. Кочева. Задачник-практикум по алгебре и теории чисел. М, “Просвещение”, 84.
4. Л.Я. Куликов, А.И. Москаленко, А.А. Фомин. Сборник задач по алгебре и теории чисел. М, “Просвещение”, 93.

Е.С. Ляпин, А.Е. Евсеев. Алгебра и теория чисел. М, “Просвещение”,