Неявные методы решения системы уравнений ОДУ

     Символический этап.

     Определяем мерность IX = 5

     IX = 0 0 0 0 0

     1-я строка матрицы JAT: 1 4

       JA(1) = 1 4      JC(1) = 1 4

       IX = 1 0 0 1 0

       JA(4) = 1 4

       IX(1) = 1 ?  Да. JC(1) - без изменений

       IX(4) = 1 ?  Да. JC(1) - без изменений

     2-я строка матрицы JAT: 2 5

       JA(2) = 2 5      JC(2) = 2 5

       IX = 1 2 0 1 2

       JA(5) = 2 5   -> JC(2) - без изменений

     ....

     4-я строка матрицы JAT: 1 3 4

       JA(1) = 1 4      JC(4) = 1 4

       IX = 4 2 2 4 2

       JA(3) = 3 4

       IX(3) = 4 ? Нет. JC(4) = 1 4 3

       IX(4) = 4 ? Да.  JC(4) - без изменений

     ....

     в итоге получим:

     IC = 1 3 5 7 10 12

     JC = 1 4 2 5 3 4 1 4 3 2 5 

     Численный этап. 

     X = 0 0 0 0 0 

     1-я строка: JC(1) = 1 4

     AN(1) = 3 5,

        AA = 3

           ANT(1) = 3 5

           AA * ANT = 9 15

           X = 9 0 0 15 0

        AA = 5

           ANT(1) = 3 5

           AA * ANT = 15 25

           X = 24 0 0 40 0

     CN(1) = 24 40

     ....

     Аналогично проделывая действия  над другими строками получим: 

     IC: 1       3       5      7          10     12

     JC: 1  4    2  5    3  4   1  4  3    2  5

     CN: 24 40   20 35   80 0   55 22 66   16 144 

     Все вышеприведенные операции  были получены на  компьютере  и  результаты совпали  для  нашего контрольного примера.  Описание программы на языке 2 C 0,  занимающейся этими операциями не приводится, так как данная программа нами не разрабатывалась, однако в приложении присутствует распечатка этой программы. 

                 4. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. ОПИСАНИЯ ПРОГРАММ. 

4.1. НЕЯВНЫЕ МЕТОДЫ. 

     Представлены группой из двух  похожих между собой программ, реализующих соответственно неявные  методы Эйлера и Рунге-Кутта  2  порядка. Также как и в вышеприведенном случае, будет описан метод Эйлера, а отличия метода Рунге-Кутта будут отмечены в скобках.

      1NME.M

     Головной модуль.

     Входные и выходные данные  отсутствуют.

     Язык реализации: PC MathLab

     Операционная система: MS-DOS 3.30 or higher

     Пояснения к тексту модуля:

     Выполняет стандартные действия:  очистка экрана,  инициализация  и ввод начальных значений,  вызов подпрограмм обработки и вычислений,  а также построение графиков.

      1NMEF.M, NRG2.M

     Вычислительные модули.

     Входные данные:

     T0, Tfinal - начальные и конечные моменты времени

     X0 - вектор-столбец начальных значений.

     H - начальный шаг

     A - матрица,  на диагонали которой стоят собственные числа линеаризованной системы ОДУ.

     Выходные данные:

     T - столбец времени

     X - столбец решений

      7D 0X - столбец ошибки

     Пояснения к тексту модуля:

     Стандартные действия:  инициализация   начальных  значений ,  цикл

While T < Tfinal,  вычисление по формулам, вывод промежуточных резуль-

татов, формирование выходных значений массивов. 

4.2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ САУ 

     Представлены группой из 4-х методов:  метод последовательных приближений,  метод Ньютона,  метод Ньютона  дискретный,  метод  продолжения решения по параметру. 

                 Метод последовательных приближений.

      1MMPP.M

     Головной модуль.

     Входные и выходные данные  отсутствуют.

     Язык реализации: PC MathLab

     Операционная система: MS-DOS 3.30 or higher

     Пояснения к тексту модуля:

     Очистка экрана,  инициализация  начальных значений, вызов вычисли-

тельного  модуля MPP.M, вывод результатов в виде графиков.

      1MPP.M

     Вычислительный модуль.

     Входные данные:

     X0 - начальное приближение в виде вектора-строки

     Fun1 - функция, возвращающая вычисленные левые части

     Fun2 - функция, возвращающая матрицу Якоби в определенной точке.

     E - допустимая ошибка.

     Выходные данные:

     Mout - номера итераций

     Xout - приближения на каждой итерации

     DXout - ошибка на каждой итерации

     Язык реализации: PC MathLab

     Операционная система: MS-DOS 3.30 or higher

     Пояснения к тексту модуля:

     Аналогичен вышеприведенным вычислительным  модулям – инициализация начальных значений,  вычисления  по формулам,  вывод промежуточных результатов, формирование выходных значений. По мере необходимости вызывает подпрограммы Fun1 и Fun2. 

                 Методы Ньютона и Ньютона дискретный

      1MNEWT.M

     Головной модуль.

     Входные и выходные данные  отсутствуют.

     Язык реализации: PC MathLab

     Операционная система: MS-DOS 3.30 or higher

     Пояснения к тексту модуля:

     Стандартный головной модуль  -  выполняет  действия,  аналогичные

предыдущим  головным модулям. Вызывает из себя NEWT.M и NEWTD.M - модули реализующие методы Ньютона и Ньютона дискретный,  а также строит их графики на одной координатной сетке. 

      1NEWT.M, NEWTD.M

     Вычислительные модули.

     Входные данные:

     X0 - начальное приближение в виде вектора-строки

     Fun1 - функция, возвращающая левые части

     Fun2 - функция,  вычисляющая матрицу Якоби (только для метода

                                                             Ньютона!)

     E - допустимая ошибка

     Выходные данные:

     Mout - номера итераций

     Xout - приближения на каждой итерации

     DXout - ошибка на каждой итерации

     Язык реализации: PC MathLab

     Операционная система: MS-DOS 3.30 or higher

     Пояснения к тексту модулей:

     Стандартные вычислительные модули,  производящие  соответствующие

им действия. Отличие их в том, что в первом случае для вычисления матрицы Якоби  вызывается подпрограмма,  а во втором случае матрица  Якоби вычисляется внутри модуля. 

                Метод продолжения решения по  параметру

      1MMPRPP.M

     Головной модуль.

     Входные и выходные данные  отсутствуют.

     Язык реализации: PC MathLab

     Операционная система: MS-DOS 3.30 or higher

     Пояснения к тексту модуля:

     Стандартный головной модуль  со всеми вытекающими отсюда  последс-

твиями.

      1MPRPP.M

     Вычислительный модуль.

     Входные данные:

     Fun1 - имя подпрограммы, вычисляющей правые части

     Fun2 - имя подпрограммы, вычисляющем матрицу Якоби

     X0 - начальное приближение

     dT - начальный шаг

     Edop - допустимая ошибка

     Trace - вывод на экран

     Язык реализации: PC MathLab

     Операционная система: MS-DOS 3.30 or higher

     Пояснения к тексту модуля:

     Стандартный вычислительный модуль  -  инициализация,  вычисление,

вывод, формирование  результата.  Стоит  отметить,  что поскольку метод

имеет глобальную сходимость,  то объем  вычислений тут значительный,  а

это значит, что при выполнении вычислений требуется  значительное коли-

чество  свободной оперативной памяти. 

                           
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 

      Были  изучены  основные численные методы для решения ОДУ,  САУ, а также технология разреженных матриц. Заодно были получены основные навыки в программировании  математической системы  PC  MathLab.  Каждый  из представленных методов по своему хорош и применяется для систем определенного вида.

     В теоретической расчетно-графической работе (далее РГР) требуется составить  программу для решения системы нелинейных уравнений методом последовательной итерации обратной матрицы  Якоби.

Суть  метода в следующем:

     Пусть требуется решить систему  нелинейных  алгебраических или трансцендентных уравнений: 

     F 41 0(X 41 0,X 42 0,...,X 4n 0)=0;       i=1,2,...,n, 

     с начальным приближением к  решению: 

     X 50 0=(x 41 50 0,x 42 50 0,...x 4n 50 0). 

     Вычислительная схема реализованного  метода состоит в следующем:

     В начале итерационного процесса  матрица H полагается равной единичной:

                          H 50 0=E.

     Затем для k=0,1,... 

     1. Вычисляется

                       P 5k  0= 5  0- 5  0H 5k  0* 5  0F(X 5k 0);