Курсовая  работа 

Оптимальное распределение ресурсов 
 
 
 
 
 
 
 
 

Москва

2011 г.

Содержание.

Введение………………………………………………………………………....3

1. Общая постановка задачи…………………………………………………....4

2. Пример решения задачи о распределении ресурсов.………………………9

Заключение………………………………………………………………….…..16

Список литературы……………………………………………………………..17

 

Введение. 

В различных  производственно-экономических системах значительное число решаемых задач  тесно связано с эффективным  использованием и распределением ограниченных ресурсов, необходимых для нормального функционирования таких систем.

     В процессе производства постоянно возникают  задачи определения оптимального плана  производства продукции при наличии  определенных ресурсов (сырья, полуфабрикатов, оборудования, финансов, рабочей силы и др.) или проблемы оптимизации распределения неоднородных ресурсов на производстве.

     Задача  оптимального распределения ресурсов имеет многочисленные практические приложения.

     В общем виде эти задачи могут быть описаны следующим образом. Имеется  некоторое количество ресурсов, под которыми можно понимать денежные средства, материальные ресурсы (например, сырье, полуфабрикаты, трудовые ресурсы, различные виды оборудования и т. п.). Эти ресурсы необходимо распределить между различными объектами их использования по отдельным промежуткам планового периода или по различным промежутками по различным объектам так, чтобы получить максимальную суммарную эффективность от выбранного способа распределения. Показателем эффективности может служить, например, прибыль, товарная продукция, фондоотдача (задачи максимизации) или суммарные затраты, себестоимость, время выполнения данного объема работ и т. п. (задачи минимизации).

 

1. Общая постановка задачи. 

Для математической постановки этой задачи требуется принять  следующие основные предположения:

     1) эффективности каждого из рассматриваемых  технологических процессов, например  в виде соответствующих доходов,  могут быть измерены общей  единицей: либо в виде валового  выпуска однородного продукта, либо  в стоимостной форме;

     2) эффективность каждого технологического процесса не зависит от

     того, какие количества ресурсов были выделены для других технологических процессов;

     3) общая эффективность или, что  то же самое, суммарный доход от всех технологических процессов – аддитивная величина, то есть величина, равная сумме доходов, получаемых от каждого процесса в отдельности.

     Тогда математическая постановка задачи оптимального распределения ограниченного ресурса формулируется следующим образом. 

В некоторой  организации в начальный момент времени имеется некоторое количество u некоторого ресурса. На протяжении времени в данную организацию поступают требования двух видов: во-первых, требования на выдачу некоторого ресурса, во-вторых, требования о принятии на хранение этого же ресурса. Предположим, что S(t)- величина чистых списаний ресурса из организации к моменту времени t. Тогда, u-S(t) – величина текущего остатка ресурса в организации. Требуется найти оптимальное в некотором смысле значение начального остатка в организации.

      Для решения поставленной выше задачи введем следующие функции издержек, связанные  с величиной u.

      1. - функция издержек первого рода.

      Данный  вид издержек возникает, когда ресурса  в организации слишком много в том смысле, что величина положительна (здесь мы используем стандартное обозначение ). Таким образом, у организации возникают издержки, связанные с хранением избыточного количества ресурса, которые составляют

     2. - функция издержек второго рода.

     Данный  вид издержек возникает, когда ресурса  в организации не хватает в  том смысле, что величина положительна. Таким образом, возникают ситуации, когда организация не может удовлетворить заявку на списание некоторого количества ресурса. Издержки, связанные с недостатком ресурса в организации составят

Запишем в общем виде функцию суммарных издержек организации:

    (1)

Рассмотрим  задачу о минимизации суммарных  издержек в зависимости от величины u, т.е. найдем такое , что

          (2)

Покажем, что поиск минимума в (2) эквивалентен отысканию решения уравнения

      (3)

Лемма.  Если существует решение уравнения (3), то оно доставляет минимум суммарным издержкам (1).

Доказательство. Распишем выражение (1) с использованием индикаторов.

Рассмотрим  нетривиальный случай, когда  Тогда добавим к D(u) нулевое слагаемое

Тогда

Далее, из тривиальных соотношений  и получаем

Сгруппировав  слагаемые, получим

Для удобства записи введем новый функционал , определяемый следующим образом:

Очевидно, что данный функционал достигает  своего минимума на тех же u, что и D(u).

     (4)

Пусть - решение интегрального уравнения (3). Подставим это в (4):

Покажем, что для 

Рассмотрим  разность

Далее воспользуемся тем, что, если , то и тривиальным равенством Получим

Очевидно, что данное выражение положительно нуля. Следовательно, если увеличить  начальный капитал по сравнению  с  , суммарные издержки компании возрастут.

      Аналогично  можно показать, что и  Тем самым мы показали, что если мы отклоняемся в ту или иную сторону от оптимального значения резерва, удовлетворяющего уравнению (3), мы неизбежно увеличиваем величину средних издержек.

      Предположим, что функции издержек первого  второго рода не зависят от времени (данное предположение справедливо только относительно коротких временных интервалов), то есть где и - константы и пусть Тогда уравнение (3) приобретает вид

В данной главе будет показано, что эта  достаточно общая постановка задачи может быть успешно применена  в разных ситуациях. В частности, в качестве описанной выше организации могут фигурировать склад некоторого товара, страховая компания и пункт обмена валют. Поиск оптимального количества ресурса для каждой организации представлен ниже.

 

2. Пример решения задачи о распределении ресурсов.

Планируется деятельность двух отраслей производства I и II сроком на 5 лет (N=5).

Заданы функции дохода  и траты   
Требуется распределить имеющиеся средства в размере Q=2 между отраслями исходя из условия максимума дохода. Будем следовать общей схеме: 
1. В нашем случае система - две отрасли с вложенными в них средствами. Она характеризуется двумя параметрами X и Y, выражающими количество средств в I и II отраслях соответственно. Шаг процесса равен 1 году. В процессе управления величины X и Y меняются в зависимости от двух причин: 
- перераспределение средств между отраслями в начале каждого года; 
- уменьшение средств к концу каждого года. 
Управление на i-ом шаге - количество средств   и  , вложенных в отрасли I и II на этом шаге. Нужно найти такое оптимальное управление, при котором суммарный доход  будет максимальным. 
2. Состояние системы перед i-ым шагом характеризуется количеством средств Q, сохранившихся после предыдущих i-1 шагов. Управление на i-ом шаге будет состоять в выделении в отрасль I средств в объеме  ,  . Выигрыш на i-ом шаге    
3. Новое состояние системы перед i+1 шагом   
4. Основное функциональное уравнение 

  
Условным оптимальным управлением будет то, при котором достигается указанный максимум.  
 
5. Условный оптимальный выигрыш на последнем 5-ом шаге равен 

 
Выражение в скобках равно   - выигрыш на пятом шаге. Вид этой функции показан на рис.1 и на рис.2 при  . Найдем ее максимум при :

. 
Можно показать, что в этом случае . Суммируя полученные результаты, можно записать .   
 

 
Это означает, что если мы подошли к последнему этапу с запасом средств не превышающим  , то их все нужно вложить во II отрасль. В противном случае в I отрасль нужно вложить  , а во II отрасль -  . Условный оптимальный выигрыш на последнем шаге будет равен 

  
Зависимости   и   показаны на рис.3. Таким образом, оптимизация последнего шага закончена. 

 
6. Рассмотрим 4-ый шаг. Задачу условной оптимизации будем решать численно:  , где условный полуоптимальный выигрыш равен    

- выигрыш на 4-ом шаге. Выясним в каких пределах может находиться Q, т.е. и . Значение   можно найти, считая, что на первых трех шагах все средства будут вложены в первую отрасль, в которой затраты минимальны. Тогда после трех лет получим  . 
Величину   можно найти, если на первых трех шагах все средства вкладывать во вторую отрасль  , т.е.  . Возьмем опорные значения   и для каждого из них найдем оптимальное управление  и условный максимальный доход на двух последних шагах  .Для этого построим зависимости   от   для всех значений Q (см. рис.4). 

 
При этом второе слагаемое определяется по рис. 3 для аргумента . Координаты максимального значения каждой кривой представляют собой условный оптимальный доход на двух последних шагах  и соответствующее оптимальное управление  . С помощью полученных значений построим зависимости, показанные на рис.5.  
Аналогично решается задача оптимизации третьего и второго шагов. Соответствующие зависимости показаны на рис. 6 - 9. Теперь остается оптимизировать первый шаг. Начальное состояние системы  и нужно построить зависимость  от