Оригами в математике

       Ромб:

       

       5. Рыбное ассорти: рыба-1 и рыба-2:

       Рыба-1:

       

       Рыба-2:

       

       6. Квадрат, он же двойной квадрат:

       

       7. Птица-1 и птица-2: 
 

       Птица-1:

       

       Птица-2:

       

             8.Лягушка-1:

            

       Лягушка-2:

         
 
 
 

       9. Дверь:

       

       10. Узор и стол:

       Узор:

       

       Стол:

         

       Вот такие вот базовые фигуры в  искусстве оригами. Разумеется, от трактовки  к трактовке могут варьироваться  названия, этапы получения, но суть остаётся нерушимой: это основные складки, на которых базируются все сложные  фигуры. 
 
 
 

2.1. Оригами – это математика! 

       Очень многое в оригами связано с  математикой. В этой статье рассказывается о взаимоотношениях геометрии и  оригами и о том, как наука  о числах способна изумить нас  формами, о возможности существования  которых, мы, может быть, и не догадывались. 
 

    Теорема Пифагора и свойства пифагоровых  треугольников позволяют доказать и обобщить центральную теорему  оригаметрии – теорему Хага о  делении стороны квадрата на три  равные части.

рис. 14	На  рисунке 14, иллюстрирующем теорему Хага, треугольники, отмеченные звёздочкой, - пифагоровы треугольники со сторонами 3, 4, 5. Развитие теоремы Хага включает в себя перемещение центральной точки М на сторону бумажного листа.
рис. 15	Пусть точка М делит сторону DC в рациональном отношении, т.е. МC = x есть рациональное число.      Пусть , тогда . По теореме Пифагора из треугольника MCK находим .      Обозначим , . Из подобия треугольников МСК и LDM находим, что

, , . Из подобия треугольников МСК и LNS следует, что . Итак, если сторону квадрата  разделить в отношении , то мы можем построить и такие части стороны: , , , . Полученные результаты сведём в таблицу:

x

И так  далее. Теорема Пифагора и прямоугольные треугольники с рациональными сторонами позволили найти способ деления стороны квадрата на любое количество равных частей. В таблице числа, обведённые в рамочку, показывают начало складывания, а в заштрихованных клетках выделены наиболее интересные результаты, получающиеся при этом складывании.

Для того, чтобы достаточно точно построить  методами перегибания квадратного  листа бумаги нужный нам острый угол, можно или приблизить соответствующий  ему прямоугольный треугольник  Пифагоровым треугольником, или приблизить тангенс данного угла рациональным числом. Для дальнейших построений нам будут нужны тангенсы половинных углов правильных многоугольников. Результаты, которые применялись при разработке и построении моделей, следующие: , , и т.д.  (В самом деле, , ). Проведённые вычисления позволяют разработать и построить методами оригами не только рёберные модели правильных и полуправильных многогранников, но и рёберную модель любого многогранника, встречающегося при решении задач. Эти модели интересно и удобно использовать при решении задач, в которых в данный многогранник вписывается прямая, плоскость, другой многогранник, сфера, … 

    Любой правильный и полуправильный многогранник можно поместить внутри сферы таким образом, что его центр совпадёт с центром сферы. Спроектировав затем из центра на поверхность сферы рёбра многогранника, мы получим сеть, состоящую из дуг больших окружностей сферы. Эта сеть разбивает сферу на сферические многоугольники, каждый из которых соответствует одной из граней многогранника. Плоскости симметрий многогранника добавят к разбиению новые дуги. С учётом этих новых дуг поверхность сферы будет разделена на сферические треугольники. Сферические модели правильных и полуправильных многогранников можно построить из бумаги с помощью клея. Наиболее сложная часть в построении модели – математические вычисления. Когда все необходимые углы вычислены, для построения модели нужны только желание и терпение. Рассмотрим сказанное на примере построения сферической модели икосододекаэдра.

    В вершине икосододекаэдра сходится 2 треугольника и два пятиугольника. У этого многогранника количество треугольных граней равно 20 (как  у икосаэдра), а количество пятиугольных граней равно 12 (как у додекаэдра). Поэтому при центральном проектировании поверхность сферы разбивается на сеть из 20 треугольников и 12 пятиугольников. Вычислим углы этих сферических многоугольников. Пусть углы сферического треугольника равны , а пятиугольника - , причём , (рис. 22).

рис. 22

Стороны треугольника и пятиугольника равны, следовательно, и . Отсюда

    Решая систему, находим  ; .

рис. 23	Разбиваем каждый треугольник осями симметрий  на шесть треугольников. По двойственной теореме косинусов находим  , , . Строим развёртку сферического треугольника (рис. 23). Таких треугольников для построения сферической модели икосододекаэдра понадобится 120 штук.
рис. 24	Разбиваем каждый пятиугольник осями симметрий на 10 треугольников. Для этих треугольников , , . Строим развёртку сферического треугольника (рис. 24). Таких треугольников для построения модели понадобится 120 штук.
рис. 17	Склеивая  из соответствующих треугольников  сначала сферические правильные треугольники и пятиугольники, а  затем и эти многоугольники между  собой, получаем сферическую модель икосододекаэдра (рис. 17).

 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение 

       Так для чего же нужно оригами???

       Оригами, прежде всего, – искусство, призванное дарить людям радость.

       Некоторые люди сделали изготовление бумажных фигурок своей профессией. Бумажные птицы и рыбы, звери и многогранники  украшают витрины магазинов. Красивые и выразительные маски широко продаются как настенные украшения. Многие предприниматели заказывают мастерам бумажные фигурки для использования в качестве символа фирмы. Муниципалитеты платят за оформление городских праздников, шоу и карнавалов. Бумажные фигурки используются при создании рекламных роликов и плакатов.

       Оригами – и детская забава, и элемент  дизайна, и неотъемлемый атрибут  народных праздников во многих странах  мира. Существуют театры, где персонажами  и декорациями являются бумажные фигурки.

       Занятие оригами оказывает положительное  влияние на развитие детей. Специалисты-медики считают, что оно позволяет полнее использовать ресурсы психики, гармонично развивая оба полушария головного мозга. У ребят совершенствуются мелкая моторика рук, движения пальцев становятся более точными вырабатывается усидчивость. Ведь чтобы получилась красивая фигурка, нужна аккуратность, внимание, сосредоточенность. Кроме того, оригами развивает память, мышление, пространственное воображение, сообразительность. Неспроста это занятие применяют в своей практике врачи-логопеды. Помогает оно и людям с нарушениями опорно-двигательного аппарата, с психическими расстройствами.

       Лично для нас оригами стало новым увлечением, которое смогло и сможет окунуть всех нас с головой в этот удивительный мир!  

Использованная  литература 

1. С. Соколова  «Оригами» Большая настольная  книга для всей семьи  240 лучших проектов для совместного творчества. Москва ИД Домино Санкт-Петербург, 2007

2. Афонькин С.Ю., Афонькина Е.Ю. Волшебные шары – кусудамы. – СПб.: Издательский дом «Кристалл», 2001. – 160с.,  

3. © 2007 Кальчева  Анастасия http://jp5.ru

4.http://www.origami.kulichki.ru

5. http://www.origami.ru