Особые решения дифференциальных уравнений первого порядка

  Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши дает теорема существования и единственности решения.

  Определение [5] : особым решением уравнения (*) на множестве I называется его решение , если через точку его графика проходит другое решение, отличное от него в сколь угодно малой окрестности этой точки, и имеющее ту же касательную.

  Для существования особого решения  необходимо, чтобы в области  G нарушались условия теоремы существования и единственности задачи Коши, т.е. для непрерывно дифференцируемой функции необходимо

   ,                                                                (3)

  Множество точек  , удовлетворяющее условию называется p-дискриминантным множеством уравнения (*).

  График  особого решения уравнения (1) лежит в p-дискриминантном множестве.

  Однако  p-дискриминантное множество не всегда задает особое решение:

  а) p-дискриминантное множество не обязано быть гладкой кривой,

  б) p-дискриминантное множество не обязано определять решение уравнения (*).

  Для нахождения особых решений требуется:

  1. найти решение (*);

  2. найти p-дискриминантное множество, исключив параметр p из системы ;

  3. отобрать те из решений уравнения (1), которые лежат в p-дискриминантном множестве;

  4. для отобранных решений проверить выполнение определения особого решения, т.е. проверить выполнение условий касания , где - семейство решений (*), не совпадающих с . 

Глава II. Решение примеров на нахождение особых решений дифференциальных уравнений первого порядка 

Пример 1. [1] Решить уравнение, найти особые решения, начертить интегральные кривые .

1. Вводим  параметр  . Тогда , или

.                                                      (4)

  Взяв полный дифференциал от обеих частей последнего равенства и заменив  через , получаем , или , откуда .

  Возможны  два случая:

1) . Из (4) получаем, что , следовательно , или .

2) . Интегрируя, находим , . Подставляя в (4), определяем y: , или , или .

  2. Найдем p-дискриминантное множество, исключив параметр p из уравнений

                                             

и

   .                                    

 Из второго  уравнения системы  следует, что , поэтому .

  Так как  - решение, то это кандидат в особые решения.

  

  Рис. 6

  3. Докажем,  что это решение особое (проверяем  касание):

     следовательно, при в тождество обращается второе уравнение и первое уравнение: .

  Через точку  проходит решение при , касающееся решения в этой точке и не совпадающее с ним ни в какой окрестности этой точки при .

  Интегральные  кривые представлены на рис. 6, где особое решение отмечено жирной линией.

Пример 2. [1] Решить уравнение, найти особые решения, начертить интегральные кривые .            (5)

1. Вводим  параметр  . Тогда , или

.                                                               

  Взяв  полный дифференциал от обеих частей последнего равенства и заменив  через , получаем , или , откуда .

  Возможны  два случая:

1) . Из (5) получаем, что , следовательно .

2) , или . Интегрируя, находим , . Подставляя в (5), определяем x: , или , или , или

  2. Найдем p-дискриминантное множество, исключив параметр p из уравнений

                                                       

и

   . Из второго уравнения системы следует, что , поэтому .

  Так как  - решение, то это кандидат в особые решения.

Рис. 7

  3. Докажем,  что это решение особое (проверяем  касание):

     следовательно, при в тождество обращается второе уравнение и первое уравнение: .

  Через точку проходит решение при , касающееся решения в этой точке и не совпадающее с ним ни в какой окрестности этой точки при .

  Интегральные  кривые представлены на рис. 7, где особое решение отмечено жирной линией.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Литература 

1. Берман  Г.Н., Сборник задач по курсу математического  анализа./Г.Н. Берман. – М.: Наука, 1969. – 440 с.
2. Пискунов Н.С., Дифференциальное и интегральное исчисление для вузов, т. 2 / Н.С. Пискунов. – М.: Наука, 1985. – 560 с.
3. Степанов В.В., Курс дифференциальных уравнений / В.В. Степанов. – С.-Пб.: ГОНТИ, 1939 – 385 с.
4. Тихонов Н.А., Курс высшей математики и математической физики / Н.А. Тихонов, А.Б. Васильева и др. – М.: Наука, 1985. – 233 с.
5. Школьник А.Г., Дифференциальные уравнения / А.Г. Школьник. – М.: Учпедгиз, 1963. – 201 с.