Первообразная

 

 

Содержание:

1. Введение 
2. История интегрального исчисления 
3. Первообразная и неопределенный интеграл 
4. Таблица первообразных
5. Свойства неопределенного интеграла 
6. Интегрирование по частям 
7. Практика
8. Заключение 
9. Список литературы

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

 Математика - одна из самых древних наук. 

Труды многих ученых вошли в мировой фонд и  стали основой  современных алгебры и геометрии. В конце XVII в когда развитие науки шло быстрыми темпами, появились понятия дифференцирование, а вслед за ним и интегрирование. Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Символ интеграла введен с 1675г а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696г.

Хотя интеграл изучают, в основном, ученые–математики, но и физики внесли свой вклад в  эту науку. Практически ни одна формула  физики не обходится без дифференциального  и интегрального исчислений. Поэтому, я и решил исследовать интеграл и его применение.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

История интегрального исчисления 

Символ  введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S  (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал                Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования “восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый. В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же , в 1696г., появилось и название новой ветви математики - интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли. Другие известные вам термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились значительно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее “примитивная функция”, которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как “начальный”:

F(x)=

- начальная (или первоначальная, или первообразная) для функции

f(x), которая получается из F(x) дифференцированием.

    

В современной  литературе множество всех первообразных  для функции f(x) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную.        А

называют  определенным интегралом (обозначение ввел К. Фурье

(1768-1830), но пределы интегрирования  указывал уже Эйлер). 
 
 

  Первообразная и  неопределенный интеграл 

 Первообразной или примитивной функцией данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Так, например, функция   является первообразной  . Так как производная константы равна нулю,   будет иметь бесконечное количество первообразных; таких как   или   … и т. д.; таким образом семейство первообразных функции x² можно обозначить как F(x) = x³ / 3 + C, где C — любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально относительно друг друга, и их положение зависит от значения C.

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если F — первообразная интегрируемой функции f, то:

Это соотношение  называется формулой Ньютона — Лейбница.

Благодаря этой связи множество первообразных  данной функции f называют неопределённым интегралом (общим интегралом) f и записывают в виде интеграла без указания пределов:

Если F — первообразная f, и функция f определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная G отличается от F на константу: всегда существует число C, такое что G(x) = F(x) + C для всех x. Число C называют постоянной интегрирования.

Каждая непрерывная функция f имеет первообразную F, одна из которых представляется в виде интеграла от f с переменным верхним пределом:

Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые  имеют первообразную. Например,   с f(0) = 0 не непрерывна при x = 0, но имеет первообразную   с F(0) = 0.

Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что  они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:

 
1°. Производная неопределенного  интеграла равна подынтегральной  функции; дифференциал от неопределенного  интеграла равен подынтегральному  выражению, т.е.

 
2°. Неопределенный интеграл от  дифференциала некоторой функции  равен сумме этой функции и  произвольной постоянной, т.е.

 
3°. Постоянный множитель можно  вынести из под знака интеграла,  т.е. если k = const ≠ 0, то

 
4° . Неопределенный интеграл от  алгебраической суммы двух функций  равен алгебраической сумме интегралов  от этих функций в отдельности.

Таблица первообразных

 

 
 
 
 
 
 

Некоторые свойства неопределенного  интеграла 

1°. Производная  от н.и. равна подынтегральной  функции, а дифференциал —  подынтегральному выражению:

2°. в частности,

Свойства 1°, 2° следуют из определения н.и.

3°. Н.и.  от алгебраической суммы конечного  числа функций равен алгебраической  сумме н.и. от каждого слагаемого.

Докажем, что (Равенство понимается с точностью до постоянного слагаемого.) Действительно, по 1°:

 Таким образом,

левая и правая части имеют одинаковые производные  и могут отличаться лишь постоянной

4°. Постоянный  множитель можно выносить за  знак н.и.:

5°. Независимость  вида н.и. от выбора аргумента  (инвариантность формы интеграла): где    имеет непрерывную производную. Действительно, по свойству инвариантности формы дифференциала:

Частным случаем 5° является = F(ax + b) + с.

Очевидно, учитывая, что d(ax + b) = a dx, получаем формулу

 
 
 
 
 
 
 

Интегрирование по частям — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция представима в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла:

для определённого:

для неопределённого  интеграла

Функции   и   гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:

Эти функции  также непрерывны, значит можно взять  интеграл от обеих частей равенства:

Операция  интегрирования обратна дифференцированию:

После перестановок:

Не  стоит, однако, забывать, что это  равенство подразумевается в  смысле равенства множеств, то есть, грубо говоря, с точностью до константы, возникающей во время интегрирования.

Типичную  ошибку «потери» константы при обращении  с неопределенным интегралом иллюстрирует следующий пример-софизм:

Отсюда  «следствие»: 0 = 1, что очевидно неверно.

для определённого

В целом  аналогично случаю неопределённого  интеграла:

 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

1. Решение 

Проверка:  
 

 

 
 

Список литературы:

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. / Под ред. Н.Ш. Кремера – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2006.
2. Высшая математика: Учебник / Ильин В.А ПРОСПЕКТ, 2002.
3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учеб пособ. / Под ред. В.И. Ермакова – М.: ИНФРА-М,2004.
4. Математика для менеджеров и экономистов:Учебник. /Абчук В.А. – СПб.: Изд-во Михайлова В.А 2002.
5. Основы высшей математики: Учеб. Пос. / В.С. Шипачев -М.: Выс. Шк 2004,
6. 19. Ильин В.А Позняк Э.Г. Основы математического анализа: Учебник М.: Физматгиз, 2001.
7. Сборник задач по высшей математике. М.: Айрис-пресс, 2003.