Подмножество

             «Набережночелнинский педагогический  колледж» 
 
 
 
 
 
 
 
 

      

      по  математике на тему

                                                 «Подмножество» 
 
 

                                      Сделала студентка гр.И-82

                                                  Биккинина Р.А

                                       

                                   Содержание

1. Определения

2. Собственное подмножество

3. Свойства

4. Подмножества конечных множеств

5. Пример

6. Примечания

7.Список литературы

 

   Множество - это совокупность объектов, рассматриваемая как одно целое. Понятие множества принимается за основное, т. е. не сводимое к другим понятиям. Объекты, составляющие данное множество, называются его элементами. Основное отношение между элементом a и содержащим его множеством A обозначается так (a есть элемент множества A; или a принадлежит A, или A содержит a). Если a не является элементом множества A, то пишут (a не входит в A, A не содержит a). Множество можно задать указанием всех его элементов, причем в этом случае употребляются фигурные скобки. Так {a, b, c} обозначает множество трех элементов. Аналогичная запись употребляется и в случае бесконечных множеств, причем невыписанные элементы заменяются многоточием. Так, множество натуральных чисел обозначается {1, 2, 3, ...}, а множество четных чисел {2, 4, 6, ...}, причем под многоточием в первом случае подразумеваются все натуральные числа, а во втором - только четные. Два множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. если каждый элемент множества A принадлежит B и, обратно, каждый элемент B принадлежит A. Тогда пишут A = B. Таким образом, множество однозначно определяется его элементами и не зависит от порядка записи этих элементов. Например, множество из трех элементов a, b, c допускает шесть видов записи: {a, b, c} = {a, c, b} = {b, a, c} = {b, c, a} = {c, a, b} = {c, b, a}.

 Множество A является подмножеством множества B, если любой элемент, принадлежащий A, также принадлежит B. Пишут или .Таким образом,

Множество B в таком  случае называется надмно́жеством множества A, и этот факт часто записывают:  или Множество A называется подмножеством множества B, если все элементы A являются также элементами B. Любое множество является своим подмножеством: Если при этом , то A называется собственным подмножеством B. По определению полагают, что пустое множество является подмножеством любого множества: .  Множество всех подмножеств множества A обозначается или 2A, так как оно соответствует множеству отображений из A в 2 = {0,1}. Иногда его называют множеством-степенью (англ. power set) для A. Мощность множества-степени, по теореме Кантора, всегда больше, чем у исходного множества. В категории множеств — это контравариантный функтор, отображающий функцию  в при этом отображение ставит в соответствие каждому подмножеству B его полный прообраз в A.

Примеры:

1.Подмножествами множества {0,1,2,3,4,5} являются множества

2.Подмножествами множества   являются множества

3. Пусть A = {a,b}, тогда   

 

Из определения  прямо следует, что пустое множество  обязано быть подмножеством любого множества. Также, очевидно, любое множество  является своим подмножеством: .Если , и , , , то A называется со́бственным или нетривиа́льным подмножеством.

 

Отношение подмножества обладает целым рядом свойств.

1.Отношение подмножества рефлексивно:

.

2. Отношение подмножества антисимметрично:

3. Отношение подмножества транзитивно:

4. Пустое множество является подмножеством любого другого:

5. Таким образом отношение подмножества является отношением частичного порядка на булеане 2M — семействе всех подмножеств любого объемлющего множества M.

6. Для любых двух множеств A и B следующие утверждения эквивалентны:

 

Если исходное множество конечно, то у него существует конечное количество подмножеств. А именно, у n-элементного множества существует 2n подмножеств (включая пустое). Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что каждый элемент может либо входить, либо не входить в подмножество, а, значит, общее количество подмножеств будет n-кратным произведением двоек. Если же рассматривать только подмножества n-элементного множества из элементов, то их количество выражается биномиальным коэффициентом . Для проверки этого факта можно выбирать элементы подмножества последовательно. Первый элемент можно выбрать n способами, второй n − 1 способом, и так далее, и, наконец, k-й элемент можно выбрать n − k + 1 способом. Таким образом мы получим последовательность из k элементов, и ровно k! таким последовательностям соответствует одно подмножество. Значит, всего найдется таких подмножеств.

 

Пусть

Тогда

 

                Список литературы

↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 65. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7