Понятие F-радикала и его свойства

- 3 -

Математический факультет

Кафедра алгебры и методики преподавания математики

Курсовая работа по теме:

«Понятие F – радикала и его свойства»

Содержание:

§1. Необходимые сведения…………………………………………...4

§2. Понятие класса Фиттинга…………………………………….......7

§3. F –радикал………………………………………………………..10

§4. Приложение F –радикалов……………………………...………12

§5. Литература……………………………………………………….15

Данная курсовая работа посвящена понятию F - радикала и его свойствам. В ней рассматриваются классы групп, называемые классами Фиттинга, которые в классе конечных групп являются двойственными к формациям. Исследуются свойства этих классов групп, а также указываются применения их к теории групп.

Структура  работы следующая:

   в параграфе один приведены основные необходимые сведения

   в параграфе два вводится понятие класса Фиттинга и приводятся его примеры

   в параграфе три вводится определение F – радикала и доказывается Лемма о том, что NF=GF∩N.

     в параграфе четыре показывается, как из двух классов Фиттинга можно построить новый класс Фиттинга с помощью радикального произведения классов групп. Устанавливаются некоторые свойства таких произведений.

-15-

§1 Необходимые сведения

Приведём вначале основные определения, теоремы и леммы, которые в дальнейшем будем использовать.

Определение 1.1[1]: Группой называется непустое множество G с бинарной алгебраической операцией (умножением), которая удовлетворяет следующим требованиям:

1.       операция определена на G, т.е. ab G;

2.       операция ассоциативна, т.е.

a(bc)=(ab)c для любых a,b,cG;

3.       в G существует единичный элемент, т.е. такой элемент eG, что ае=еа=а для всех аG;

4.       каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого аG существует такой элемент а-1G, что

а а-1= а-1а=е.

Определение 1.2[1]: Подмножество Н группы G называется подгруппой, если Н – группа относительно той же операции, которая определена на G.

Обозначение: Н G

Определение 1.3[1]: Подгруппа Н называется нормальной подгруппой группы G, если xН=Нx для всех х G.

Обозначение: Н G

Определение 1.4[1]: Две группы G и G1 называются изоморфными, если существует биекция f : G G1 такая, что

f(ab)= f(а) f(b) для всех а, bG.

Обозначение: G G1

Определение 1.5[1]: Класс групп – это множество групп, которое вместе с каждой своей группой содержит все изоморфные ей группы.

Определение 1.6 [1]: Класс X называется нормально наследственным или классом, замкнутым относительно нормальных подгрупп, когда выполняется требование:

если G X и NG, то N X

Определение 1.7 [1]: Класс X называется замкнутым относительно произведений нормальных X -подгрупп, когда выполняется требование:

если N1, N2G и N1, N2 X, то N1N2 X

Определение 1.8 [1]: Подгруппа U называется субнормальной подгруппой группы G, если существуют подгруппы U0, U1,…,Us такие, что

U=U0 U1 … Us-1 Us= G.

Обозначение: U G

Определение  1.9[1]:Пусть - совокупность всех левых смежных классов группы G по подгруппе Н. Группа называется факторгруппой G по подгруппе Н.

Обозначение: G/Н

Определение1.10[1]: Формацией называется класс, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.

Определение1.11[1]:Пусть Н подгруппа группы G и α – автоморфизм группы G. Если α(Н)=Н, то Н называют характеристической подгруппой группы G .

Обозначение: H char G

Определение 1.12[1]: Изоморфное отображение группы на себя называется автоморфизмом

Определение 1.13[1]: Конечная группа, порядок которой есть степень простого числа р, называется р-группой.

Теорема1.14[1]: Пусть X , - классы Фиттинга. Тогда

(G/GX)=GX/GX.

Лемма 1.15[2]: Пусть X является классом Фиттинга. Тогда справедливо следующее утверждение:

GX является характеристической X - подгруппой группы G.

-15-

§2 Понятие класса Фиттинга

В данном параграфе сформулируем определение понятия класса Фиттинга и приведём конкретные примеры.

Определение 2.1: Пусть X и F  - классы групп, причём

F X.

Класс F называется классом Фиттинга или радикальным классом в X, если выполняются следующие условия:

1)                Класс F  Sn– замкнут, т.е. если GF  и подгруппа N нормальна в группе G, то

NF :

2)                Если F – подгруппа Ni нормальна в X– группе G для любого   iJ и G=, то

G F.

Определение 2.2: Если X и F - классы групп, причём

F X ,

то F  называется подклассом класса X, или, коротко, X-классом.

Замечание. Из определения сразу же следует, что если F  является классом Фиттинга в классе в классе X и F содержится в X-классе X1, то F является классом Фиттинга в классе X1. Так как конечная группа G имеет лишь конечное множество нормальных подгрупп, то для класса Фиттинга F  в  определение 2.1 принимает следующий вид.

Определение 2.3: - класс F  называется классом Фиттинга, если выполняются следующие условия:

1)                класс F  Sn- замкнут;

2)                класс F   R- замкнут, т.е. если F- подгруппы N1,N2,…,Nt нормальны в группе G и G=N1,N2,…,Nt, то

GF.

Примеры классов Фиттинга:

1.                 класс , состоящий из всех единичных и только единичных групп, - единичная формация;

2.                 класс всех конечных групп;

3.                 класс всех конечных π- групп;

4.                 класс всех конечных нильпотентных групп;

5.                 класс всех конечных нильпотентных π- групп;

6.                 класс всех конечных разрешимых групп;

7.                 класс всех конечных разрешимых π- групп;

8.                 пустое множество.

Покажем, например, что класс  всех конечных групп является классом Фиттинга.

Пусть G – конечная группа. Следовательно, она содержит конечное число нормальных подгрупп.

Значит, класс  всех конечных групп замкнут относительно нормальных подгрупп.

В качестве нормальных подгрупп всегда можно взять единичную группу Е и саму группу G. Рассмотрим произведение

EG={eg=ge=g, }=G

Следовательно, класс  всех конечных групп замкнут относительно произведения нормальных подгрупп.

Заключаем, что выполняются все условия определения 2.3. Следовательно, класс  всех конечных групп является классом Фиттинга.

-15-

§3 F - радикал

В данном параграфе введём понятие F – радикала и покажем, что NF=GF∩N.

Определение 3.1: Пусть F – непустой X- класс Фиттинга. F - радикалом X-группы G называется подгруппа GF, порожденная всеми нормальными F -подгруппами из G.

Отметим, что радикал конечной группы G обозначают через Oπ(G) и называют π-радиалом; -радикал конечной группы G обозначают через F(G) и называют подгруппой Фиттинга; γ-радикал конечной группы G обозначают через S(G) и называют разрешимым радикалом.

Лемма 3.2. Пусть F – класс Фиттинга и N нормальная подгруппа группы G. Тогда справедливо следующее утверждение:

NF =GF ∩N.

Доказательство:

Так как GF ∩N нормальна в GF и GF X, то в силу Sn – замкнутости F, получим GF ∩N F. Поскольку GF ∩N нормальна      в N и

GF ∩N NF,

Значит, по определению 3.1 GF ∩N NF.    (1)

Так как NF - характеристична в N (по Лемме 1.15),

то NF нормальна в G.

Далее NF F. Следовательно, по определению 3.1

NF GF,

и, значит,

NF GF ∩N    (2)

Из включений (1) и (2) следует, что

NF = GF ∩N

Лемма доказана

-15-

§4 Приложение F – радикалов

В данном параграфе введём определение радиального произведения и рассмотрим некоторые его свойства.

С помощью F – радикалов вводится понятие радикального произведения классов Фиттинга.

Определение 4.1: Пусть X - класс Фиттинга и - класс групп. Радикальным произведением X и , называется класс

X ={G|G/GX }.

Полагаем, что X =, если хотя бы один из классов X или является пустым.

Теорема 4.2. Если X и – классы Фиттинга, то

X- класс Фиттинга.

Доказательство:

Если хотя бы один из классов X или является пустым, то и всё произведение является пустым множеством. А пустое множество является классом Фиттинга.

Пусть

X ≠ ≠, GX и HG, т.е. HX=XH для всех X G.

Тогда по Лемме 3.2

HX=H∩GX

и, значит, HGX/GX H/H∩GX = H/HX.

Так как HGX/GX нормальна в G/GX и по определению 4.1G/GX, то в силу Sn – замкнутости класса следует, что HGX/GX, и , значит, H/HX. Тогда по определению 4.1 следует, что

H X,

и, значит, класс X является Sn – замкнутым.

Пусть Hi X, Hi G, i=1,2, и G=H1H2…Ht . По Лемме 3.2

(Hi) X= G X ∩ Hi.

Тогда

HiG X / G X Hi/Hi ∩G X=Hi/(Hi) X.

Так как Hi X , то по определению 4.1 Hi /(Hi) X , и, значит, Hi ∩G X/ G X для любого i=1,2,…,t.

Рассмотрим факторгруппу G/G X . Так как G/G X = H1 G X /G X H2G X/ G X…Ht G X/ G X и класс R – замкнут, то G/G X , и, значит, по определению 4.1

GX.

Следовательно, класс X является R – замкнутым.

Тогда по определению 2.3 класс X является классом Фиттинга.

Теорема доказана.

Теорема 4.3. Пусть X , и - классы Фиттинга. Тогда

(X) =X().

Доказательство:

Пусть F1=(X) и F2= X().

Если хотя бы один из классов Фиттинга X или или является пустым, то F1= и F2=, и, значит, F1=F2. Поэтому будем считать, что ни один из классов Фиттинга X ,, не является пустым.

Пусть GF1, тогда по определению 4.1 имеем

G/GX.

По Теореме 1.14 (G/GX)=GX/GX, то по определению 4.1

следует, что

G/GX.

Значит, GX().

Следовательно, F1 F2.      (1)

Пусть GF2, тогда по определению 4.1 имеем

G/GX

Так как (G/GX )/(G/GX).

По Теореме 1.14 (G/GX)=GX/GX, то (G/GX)/(GX/GX) G/GX.

Тогда по определению 4.1 G (X).

Следовательно, F2 F1.         (2)

Из включений (1) и (2) следует, что F1=F2.

Теорема доказана.

-15-

Литература:

1.       В. С. Монахов «Введение в теорию конечных групп и их классов», Минск «Вышэйшая школа», 2006

2.       В. А. Ведерников «Элементы теории классов групп», Смоленск, 1988