Поверхности 2го порядка. Геометрические свойства этих поверхностей, исследование их формы методом сечений

Тема моего реферата: «Поверхности 2го порядка. Геометрические свойства этих поверхностей, исследование их формы методом сечений».

В этой теме я  рассмотрела такие поверхности  как:

1. Эллипсоид.
2. Однополосный гиперболоид.
3. Двуполостный гиперболоид.
4. Эллиптический параболоид.
5. Гиперболический параболоид.
6. Конус.
7. Цилиндрические поверхности.

Целью моего реферата является исследование поверхностей  второго порядка. Закрепление  полученных теоретических знаний и  практических навыков по изучению и  анализу свойств поверхностей второго  порядка. 
 

                         Поверхности второго порядка. 

Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной системе  координат определяются алгебраическими  уравнениями второй степени. Они удовлетворяют уравнения вида:

a₁₁x² + a₂₂y² + a₃₃z² + 2a₁₂xy + 2a₂₃yz + 2a₁₃xz + 2a₁₄x + 2a₂₄y + 2a₃₄z + a₄₄ = 0

 в котором по крайней мере один из коэффициентов a₁₁, a₂₂, a₃₃, a₁₂, a₂₃, a₁₃

  отличен от  нуля.

1. Эллипсоид   

      Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением:     

     (1) каноническое уравнение эллипсоида.

    2.Однополосный  гиперболоид.

Однополосным  гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной  системе координат определяется уравнением

(3) Каноническое  уравнение однополосного гиперболоида 
 

  

3.Двуполостный  гиперболоид.

       Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

          (5)Каноническое  уравнение двуполостного гиперболоида. 

    4.Эллиптический  параболоид.  

     Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением   (7) каноническое уравнение эллиптического параболоида.

5. Гиперболический параболоид.

 

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной  системе координат, определяется уравнением

      каноническое уравнением гиперболического параболоида.

6.Конус  второго порядка. 

    Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной  системе координат определяется уравнение   (11)  

7.Цилиндрические поверхности.

Поверхность называется цилиндрической, если она  образована параллельным перемещением некоторой прямой, называемой образующей, вдоль некоторой кривой, называемой направляющей. 

8.Эллиптический  цилиндр.

Уравнение эллиптического цилиндра имеет вид :

.

       

    9.Гиперболический цилиндр.

Гиперболический цилиндр — поверхность второго порядка, направляющей для которой служит гипербола. Гиперболический цилиндр образуется при перемещении гиперболы по прямой. Это линейчатая поверхность.

Гиперболический цилиндр может быть обозначен  параметрически: 
 
 
 

                           10.Параболический  цилиндр.

Параболический  цилиндр — цилиндрическая поверхность второго порядка, для которой образующей служит парабола. Ее получают при перемещении параболы по направляющей прямой. Тогда следом от параболы будет параболический цилиндр.

Уравнение :  у²= 2рх      (р>0)

    сферой.

    Пример:

Привести  к каноническому  виду уравнение:

4х²+9у²+36z²-8х-18у-72х+13=0

Сгруппируем члены с одинаковыми координатами:

4(х²-2х)+ 9(у²-2у)+36(z²-2z+1)= -13+4+9+36   или  

4(х-1)²+9(у-1)²+36(z-1)=36

Произведем  параллельный перенос осей координат, приняв за новое начало координат  точку  O’(1;1;1). Формулы преобразования  координат имеют вид х=х’+1; y=y’=1; z=z’+1

Тогда уравнение поверхности запишется  так:

4’x²+9y’²+36z’²=36

Это уравнение  определяет  эллипсоид; его центр находится в новом начале координат, а полуоси соответственно 3,2 и 1.