Поверхности второго порядка

Тема 2. Поверхности второго порядка.

§1. Цилиндрические и конические поверхности.

Определение. Конической поверхностью (конусом) с вершиной в точке называется поверхность, которая с каждой своей точкой М содержит всю прямую .

Коническую  поверхность будем  получать следующим  образом. Рассмотрим в пространстве линию  и точку , . Поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через точку и всеми прямыми, каждая и которых проходит через точку и пересекает линию , является конической поверхностью. Линия называется направляющей, прямые – образующими.

Задачи.

1. Составить уравнение конуса вершина которого находится в точке и направляющая задана уравнениями (АСК).

Решение. Заметим, что направляющая конуса задана как пересечение двух множеств: поверхности и плоскости . Пусть произвольная точка , то есть прямая должна пересекать направляющую .   Тогда , то есть прямолинейная образующая конической поверхности К пересекает плоскость в точке, принадлежащей поверхности (нарисуйте картинку). Запишем эти условия в виде уравнений.

Параметрические уравнения прямой . Найдем координаты точки пересечения прямой с плоскостью .

  . Найденные координаты должны удовлетворять уравнению поверхности . Получим

 

.  Переобозначив переменные, получим

. Это уравнение искомой конической поверхности.  

2. Ось - ось кругового конуса с вершиной в начале координат О, его образующие наклонены под углом к оси . Составить уравнение конуса (ПДСК).

Решение. Пусть  . Это уравнение искомой конической поверхности. 

 

Определение. Поверхность, содержащая с каждой своей точкой всю прямую, проходящую через эту точку параллельно некоторому фиксированному вектору , называется цилиндрической поверхностью или цилиндром.

Цилиндрическая  поверхность может быть образована следующим образом. Пусть  - некоторая линия, а - ненулевой вектор. Поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через некоторую точку линии параллельно вектору , будет цилиндрической. Линия называется направляющей, прямые – образующими.

3. Составить уравнение цилиндра, образующие которого параллельны прямой , а направляющая задана уравнениями (АСК).

Решение. Заметим, что направляющая цилиндра задана как пересечение двух множеств: поверхности и плоскости . Образующие цилиндра параллельны вектору . Пусть Ц . Проведем прямую параллельно вектору через точку М. Эта прямая должна пересекать направляющую цилиндра, то есть  , где , то есть прямая , проходящая через точку М параллельно вектору пересекает плоскость в точке, принадлежащей поверхности . Запишем эти условия в виде уравнений.

Параметрические уравнения прямой : . Пересечем эту прямую с плоскостью и найдем координаты точки пересечения: . Координаты этой точки удовлетворяют уравнению поверхности , то есть

. Переобозначив переменные, получим  уравнение искомой цилиндрической поверхности: . 

4. Составить уравнение кругового цилиндра, проходящего через точку А(1,-1,1), если его осью служит прямая (ПДСК).

Решение. Пусть  Ц . Вычислим , где . Тогда .

Аналогично находим  . Итак, получим  . Это уравнение искомой цилиндрической поверхности. 

5. Ось - ось кругового конуса с вершиной в начале координат. Точка А(1,1,1) лежит на его поверхности. Составить уравнение конуса (ПДСК).

Решение. Пусть  . Это уравнение искомой конической поверхности. 

Задачи к проверочной  работе.

1. Ось - ось кругового конуса с вершиной в начале координат. Точка А(3,-4,7) лежит на его поверхности. Составить уравнение конуса (ПДСК).
2. Ось - ось кругового конуса с вершиной в начале координат, его образующие наклонены под углом к оси . Составить уравнение конуса (ПДСК).
3. Составить уравнение цилиндра,  образующие которого параллельны вектору , а направляющая задана уравнениями (АСК).
4. Составить уравнение конуса, вершина которого находится в точке А(3,-1,-2) и направляющая задана уравнениями  .
5. Составить уравнение цилиндра, направляющая которого дана уравнениями и образующая которого перпендикулярна плоскости направляющей.
6. Составить уравнение кругового цилиндра, проходящего через точку , если его осью служит прямая (ПДСК).
7. Составить уравнение конуса с вершиной (0,0,3), направляющая которого задана уравнениями (ПДСК).
8. Составить уравнения цилиндра, если его направляющая имеет уравнения , а образующая параллельна вектору (АСК).
9. Составить уравнение конуса с вершиной в точке (0,0,0), направляющая которого задана уравнениями (АСК).
10. Составить уравнение цилиндра, если направляющая имеет уравнения , а образующая параллельна прямой (ПДСК).
11. Прямая - ось кругового конуса, вершина которого лежит в плоскости . Составить уравнения конуса, зная, что точка принадлежит его поверхности (ПДСК).
12. Составить уравнение цилиндра, если направляющая имеет уравнения и образующая параллельна оси (ПДСК).
13. Составить уравнение цилиндра, если его направляющая имеет уравнения и образующая перпендикулярна плоскости направляющей (ПДСК).
14. Составить уравнение круговой конической поверхности, если заданы ось уравнениями и две симметричные относительно оси точки , , принадлежащие ей (ПДСК).
15. Цилиндр, образующие которого перпендикулярны плоскости , описан около сферы . Составить его уравнение (ПДСК).
16. Написать уравнение круговой цилиндрической поверхности, если уравнение ее оси и точка принадлежит этой поверхности (ПДСК).
17. Написать уравнение круговой цилиндрической поверхности, если уравнение ее оси и точка принадлежит этой поверхности (ПДСК).
18. Составить уравнение круговой цилиндрической поверхности, если ось задана уравнениями и координаты ее точки (ПДСК).
19. Направляющая конической поверхности имеет уравнения , вершина – в начале координат. Составить уравнение конической поверхности (ПДСК).

20^*. Написать уравнение цилиндрической поверхности вращения, зная уравнения трех ее образующих , , (ПДСК).

21^*. Написать уравнение кругового конуса, если ост координат являются его прямолинейными образующими, ось лежит в 1 и 7 октантах (АСК).

22^*. Написать уравнение конуса, описанного около сфер и   (ПДСК).

 

    §2. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.

Определение. Прямая, лежащая на поверхности, называется прямолинейной образующей этой поверхности.

Задачи.

1. Определить, существуют ли прямолинейные образующие поверхности , проходящая через точку . Если да, то записать их уравнения (аффинная система координат).

Решение. Запишем параметрические  уравнения прямой , проходящей через точку параллельно некоторому вектору . Координаты этого вектора нам нужно найти или доказать, что он не существует, используя то, что прямая является прямолинейной образующей. Запишем параметрические уравнения прямой : . Рассмотрим систему уравнений . Эта система уравнений задает общие точки прямой и поверхности . Чтобы прямая была прямолинейной образующей, она должна содержаться в поверхности, то есть рассматриваемая система должна иметь бесконечно много решений, то есть четвертое уравнение системы должно выполняться при любом . Рассмотрим его подробнее:

. Чтобы это уравнение выполнялось  при любом  надо, чтобы . Итак, мы получили два направляющих вектора, для которых прямая содержится в поверхности: и . Непосредственная проверка показывает, что эти векторы задают прямолинейные образующие. Тогда через данную точку проходят две прямолинейные образующие данной поверхности. 

 

Рассмотрим каноническое уравнение  однополостного гиперболоида и представим его в виде . Тогда уравнения двух семейств прямолинейных образующих имеют вид:

;  , где и хотя бы одно число в каждой паре отлично от нуля.

2. Составить уравнения прямолинейных образующих однополостного гиперболоида  , перпендикулярных оси (ПДСК).

Решение. Запишем уравнение однополостного гиперболоида в виде и запишем уравнения двух семейств прямолинейных образующих

, где  .

Нам нужно найти такие числа  , чтобы прямолинейные образующие были перпендикулярны оси . Для этого найдем направляющие векторы этих прямых.

. Тогда 

Тогда   . Потребуем, чтобы , то есть . Подставим в уравнения . Получим

  и  .

Семейство рассматривается аналогично. 

 

3. Составить уравнения прямолинейных образующих однополостного гиперболоида , проходящих через точку (1,0,0) (ПДСК).

Решение. Запишем уравнение однополостного гиперболоида в виде и запишем уравнения двух семейств прямолинейных образующих

, где  .

Нам нужно найти такие числа  , чтобы прямолинейные образующие проходили через точку (1,0,0). Рассмотрим прямые семейства . Так как точка (1,0,0) должна принадлежать таким прямым, то ее координаты удовлетворяют этой системе уравнений, то есть  . Подставим это в уравнения и сократим на . Тогда - уравнения искомой прямолинейной образующей. Второе семейство прямолинейных образующих рассматривается аналогично. 

Рассмотрим каноническое уравнение  гиперболического параболоида  и представим его в виде . Тогда уравнения двух семейств прямолинейных образующих имеют вид: ; , где и хотя бы одно число в каждой паре отлично от нуля.

4. Составить уравнения прямолинейных образующих гиперболического параболоида , которые параллельны плоскости (ПДСК). 

Решение. Запишем уравнения гиперболического параболоида в виде и составим уравнения двух семейств прямолинейных образующих

, где  и хотя бы одно число в каждой паре отлично от нуля. Нам нужно найти такие числа , чтобы прямолинейные образующие были параллельны плоскости . Найдем направляющий вектор прямых семейства . Имеем , то есть . Так как параллелен плоскости , по критерию параллельности вектора и плоскости получим . Подставим в уравнения .

. Это противоречит требованию, чтобы хотя бы одно число  пары  было отлично от нуля. Решения в этом случае нет.

- искомое решение. Аналогично  рассматривается случай  . 

5. Составить уравнения прямолинейных образующих гиперболического параболоида , лежащих в плоскости (ПДСК).

Решение. Запишем уравнения гиперболического параболоида в виде и составим уравнения двух семейств прямолинейных образующих , где и хотя бы одно число в каждой паре отлично от нуля. Нам нужно найти такие числа , чтобы прямолинейные образующие лежали в плоскости . Найдем направляющий вектор прямых семейства .

, то есть  . Чтобы прямая содержалась в плоскости, ее направляющий вектор должен быть параллелен этой плоскости, то есть

. В первом случае получаем противоречивую систему (аналогично предыдущей задаче), а во втором случае имеем . Чтобы убедиться, что эта прямая лежит в плоскости ,  нам достаточно взять любую точку на плоскости, например, (-1,0,0) и проверить, принадлежит ли эта точка прямой . Подставляя координаты (-1,0,0) в уравнения , видим, что точка не принадлежит прямой, то есть прямая не содержится в плоскости (а параллельна ей).

Рассмотрим второе семейство  и проведем аналогичные вычисления.

, то есть  . Чтобы прямая содержалась в плоскости, ее направляющий вектор должен быть параллелен этой плоскости, то есть

. В первом случае получаем  противоречивую систему (аналогично  предыдущей задаче), а во втором  случае имеем  . Чтобы убедиться, что эта прямая лежит в плоскости ,  нам достаточно взять любую точку на плоскости, например, (-1,0,0) и проверить, принадлежит ли эта точка прямой . Подставляя координаты (-1,0,0) в уравнения , видим, что точка не принадлежит прямой, то есть прямая не содержится в плоскости (а параллельна ей). Итак, мы получили, что не существует прямолинейных образующих, принадлежащих плоскости . 

Задачи к проверочной  работе.

1. Составить уравнения прямолинейных образующих гиперболического параболоида , которые параллельны плоскости (ПДСК).
2. Составить уравнения прямолинейных образующих, проходящих через точку гиперболического параболоида (ПДСК).
3. Составить уравнения прямолинейных образующих однополостного гиперболоида , проходящих через точку (6,2,8) (ПДСК).
4. Составить уравнения прямолинейных образующих гиперболического параболоида , которые пересекаются в точке А(2,0,1) (ПДСК).
5. Составить уравнения прямолинейных образующих однополостного гиперболоида , перпендикулярных оси (ПДСК).
6. Составить уравнения прямолинейных образующих гиперболического параболоида , которые образуют с прямой угол (ПДСК).
7. Составить уравнения прямолинейных образующих, проходящих через точку гиперболического параболоида (ПДСК).
8. Составить уравнения прямолинейных образующих однополостного гиперболоида , параллельных плоскости (ПДСК).
9. Составить уравнения прямолинейных образующих однополостного гиперболоида  , лежащих в плоскости (ПДСК).
10. Составить уравнения прямолинейных образующих гиперболического параболоида , лежащих в плоскости (ПДСК).
11. Найти прямолинейные образующие поверхности , проходящие через точку (1,0,1).
12. Найти прямолинейные образующие поверхности , параллельные вектору (1,0,0).