Автор: Пользователь скрыл имя, 22 Апреля 2012 в 15:20, реферат
Рассмотрим скалярную функцию и поверхность S. Пусть S задана векторной функцией
где координаты (u,v) изменяются в пределах некоторой области определения в плоскости uv. Заметим, что функция рассматривается только в точках, принадлежащих поверхности S, то есть
Поверхностный интеграл первого рода от функции по поверхности S определяется следующим образом:
где частные производные и равны
а означает векторное произведение.
Вычислим векторный элемент площади . Частные производные равны
Следовательно,
Таким образом, получаем
(Этот вектор
соответствует внутренней
Пример 5
Вычислить интеграл , где S − часть внутренней поверхности эллипсоида, заданного параметрически в виде . Параметры u,v изменяются в интервале .
Решение.
Воспользуемся формулой
Поскольку
определитель может быть записан в виде
Следовательно, поверхностный интеграл равен
Пример 6
Найти интеграл , где S − внутренняя поверхность сферы .
Решение.
Запишем компоненты векторного поля :
Уравнение сферы удобно преобразовать в сферические координаты:
где . Применим формулу
Так как
то определитель под знаком двойного интеграла будет равен
Это значение соответствует
внутренней ориентации поверхности.
Искомый поверхностный интеграл будет
равен
Вычислим последние два интеграла отдельно.
Следовательно, поверхностный интеграл имеет значение