Предел и непрерывность функций двух переменных

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Курганский  государственный университет

Кафедра экономической  теории и моделирования экономических  процессов

 

Реферат на тему:

«Предел и непрерывность функций двух переменных»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:

студентка 1 курса, гр. 10112-Э

Матонина А.В.

                                                                                     

Курган , 2013

Содержание

1.   Понятие  функции двух переменных________________________________3

2. Предел функции в точке__________________________________________5

3. Непрерывность функции  двух переменных в точке____________________6

4. Непрерывность и ограниченность  функции__________________________8

Список использованной литературы__________________________________9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.   Понятие функции двух переменных.

Пусть имеется n+1 переменная x₁, x₂, ..., x_n, y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x₁, x₂, ..., x_n соответствует единственное значение переменной y. Тогда говорят, что задана функция f от n переменных. Число y, поставленное в соответствие набору x₁, x₂, ..., x_n называется значением функции f в точке (x₁, x₂, ..., x_n), что записывается в виде формулы y = f(x₁,x₂,..., x_n) или y =y(x₁,x₂,..., x_n).

Переменные x₁, x₂, ..., x_n являются аргументами этой функции, а переменная y - функцией от n переменных.

Далее я буду говорить лишь о функции двух переменных. Для  функций большего числа переменных все факты, о которых будет идти речь, или аналогичны или сохраняются без всякого изменения. Аргументы функции двух переменных будут обозначаться, как правило, x и y, а значение функции - z.

Будем говорить, что задана функция двух переменных, если любой паре чисел (x,y) из некоторого множества D упорядоченных пар чисел поставлено в соответствие единственное число, которое обозначается f(x,y) и называется значением функции f в точке (x,y). Множество D называется областью определения функции. В связи с этим определение.

Определение 1. Переменная z называется функцией двух переменных f(x,y), если для любой пары значений (x,y)ÎD ставится в соответствие определенное значение переменной z.

Поскольку любую  пару чисел x,y можно рассматривать как пару координат точки M на плоскости, вместо z=f(x,y) можно писать z=f(M).При этом аргументами функции будут координаты x,y точки M.

 

Числа x,y можно рассматривать как координаты вектора , исходящего из начала координат и с концом в точке M(x,y). Тогда функция двух переменных будет функцией вектора, что записывается в виде формулы z = f( ), причем аргументами функции являются координаты вектора  .

 

 

Определение 2. График функции двух переменных есть множество точек (x,y,f(x,y)), где (x,y)ÎD. График представляет собой некоторую поверхность. Пример такой поверхности приводится на рисунке 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Предел функции в точке.

 

Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

 

Пусть задана функция z=f(x,y), M(х,у)-текущая точка, M₀(x₀,y₀) – предельная точка множества D(f). (Рис. 1).

Определение 3. Число А называется пределом функции z=f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀), если для любой M_n не принадлежащей множеству D(f), M_n ≠ M₀, выполняется равенство:    

При этом пишут   

 
 или                       

 

 

 Определение 4. Если   , то функция называется бесконечно малой.

Определение 5. Если  , то функция называется бесконечно большой.

 

 

 

 

 

 

3. Непрерывность функции двух переменных в точке.

 

Определение 6. Пусть f – функция двух переменных и M₀(x₀,y₀) – предельная точка множества D(f), принадлежащая этому множеству. Тогда функция f называется непрерывной в точке M₀, если:

.

Переходя к  координатным обозначениям M₀=(x₀,y₀), M=(x,y), мы можем аналогично случаю функции одной переменной, рассматривать разности x-x₀, y-y₀ как приращение аргументов ∆x и ∆y, а разность f(x,y)- f(x₀,y₀) – как приращение функции ∆ f(x₀,y₀). Тогда получаем, что функция f непрерывна в точке (x₀,y₀), если бесконечно малым приращениям аргументов ∆x и ∆y соответствует бесконечно малое приращение функции ∆ f(x₀,y₀), т. е.

Теперь учитывая определение предела функции  в точке, переформулируем определение непрерывности.

Определение 7. Функция f называется непрерывной в точке M₀, если M₀ÎD(f) и для любой точки M_n, принадлежащей D(f) выполняется условие:

.

Следовательно, функция является непрерывной в  точке, если:

1.     функция определена в этой точке;

2.     имеет предел в этой точке;

3.     предел равен значению функции в этой точке.

В противном  же случае функция терпит разрыв в  этой точке.

Пример 1.  Исследовать на непрерывность функцию

Решение

Данная функция  определена при всех значениях переменных x и y, кроме начала координат, где знаменатель обращается в нуль.

Многочлен x²+y² непрерывен всюду, а значит и непрерывен корень квадратный из непрерывной функции.

Дробь же будет  непрерывной всюду, кроме точек, где знаменатель равен нулю. То есть рассматриваемая функция непрерывна на всей координатной плоскости Оху, исключая начало координат.

Пример 2.  Исследовать на непрерывность функцию z=tg(x,y). Тангенс определен и непрерывен при всех конечных значениях аргумента, кроме значений, равных нечетному числу величины π/2, т.е. исключая точки, где

При каждом фиксированном "k" уравнение (1.11) определяет гиперболу. Поэтому рассматриваемая функция является непрерывной функцией x и y , исключая точки, лежащие на кривых (1.11).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Непрерывность и ограниченность функции.

Установим связь  между непрерывностью и ограниченностью функции в точке. Имеет место следующая теорема:

Теорема 1. Если функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве, то она ограничена на этом множестве.

Доказательство. Допустим, что существует функция f непрерывная на компактном множестве Е, но не являющаяся ограниченной на этом множестве. Тогда для любого n принадлежащего множеству N, существует последовательность точек P_n принадлежащих множеству Е, для которых выполняется условие: |f(P_n)|>n. Из последовательности (P_n) точек множества E выделим подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке P₀ из множества Е. Но теперь имеем:

ввиду непрерывности f в точке P₀. Эти два предельных результата несовместимы, значит наше предположение о неограниченности функции f на множестве Е – не верно, что и доказывает данную теорему.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  использованной литературы

1. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М., 2003. 
2. Общий курс высшей математики. Под ред. Ермакова. М., 2004. 
3. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б.Х Математический анализ – М, 1979 – 719 с.
4. Шипачев В. С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 2001.
5. http://vm.psati.ru/online-math-sem-2/page-1-04.html