Преобразование Фурье. Интегрирование обобщённых функций

 

 

 

Глава 2. Дифференцирование и интегрирование обобщённых функций.

2.1. Основные определения.

Обобщенной функцией мы будем называть каждый линейный непрерывный функционал, определенный на основном пространстве К. Известно, что операция дифференцирования не всегда выполнима для обычных функций: существует большое количество функций, не имеющих производных в обычном смысле слова. В противоположность этому мы покажем, что обобщенные функции имеют производные (и притом всех порядков), которые представляют собой также обобщенные функции. Для того чтобы подойти к определению производной обобщенной функции, рассмотрим вначале случай обычных функций одного переменного. Если функция f(х) непрерывна и обладает непрерывной производной (в обычном смысле), то мы можем построить функционал   Интегрируя по частям и учитывая, что функция обращается в нуль вне некоторого отрезка [а, b] мы получаем:

 

Это равенство мы и положим в основу общего определения производной от обобщенной функции. Пусть f — произвольный линейный непрерывный функционал на основном пространстве К. Тогда функционал g, заданный формулой мы будем называть производной от функционала f и обозначать через или ,

Определение производной обобщенной функции f можно записать очень наглядной формулой:

Чтобы убедиться в корректности определения  производной, покажем, что функционал g также является линейным непрерывным функционалом на основном пространстве К.

Проверим  это утверждение.

Во-первых, функционал g определен на всех функциях , поскольку вместе с есть основная функция. Очевидно, что функционал g линеен. Остается проверить, что он непрерывен.

Пусть дана последовательность основных функций  , стремящаяся к нулю в пространстве К. Тогда, согласно определению сходимости в пространстве К, последовательность производных также стремится к нулю в пространстве К. Поэтому, в силу непрерывности функционала f, 

 что и требуется.

Итак, каждая обобщенная функция f имеет производную. Легко проверить, что выполняются обычные правила дифференцирования: производная суммы равна сумме производных, и постоянный множитель выносится за знак производной. Для произведения бесконечно дифференцируемой функции а(х) на обобщенную функцию f остается справедливой классическая формула дифференцирования

Действительно, мы имеем:

 

 

что и требуется.

Переходим теперь к случаю нескольких независимых переменных. В этом случае мы можем определить для каждой обобщенной функции f её частные производные по каждому из независимых переменных по формулам вида

 

Так же, как и выше, легко проверяется  корректность этого определения: если функционал f регулярен и соответствующая функция непрерывна и обладает непрерывной производной по переменному , то интегрирование по частям, как и выше, приводит нас к выводу, что функционал — есть функционал типа функции

 

Поскольку результат дифференцирования  обобщенной функции есть снова обобщенная функция, мы можем продолжать дифференцирование и определить производные и т.д. любого порядка.

Таким образом, все обобщенные функции  бесконечно дифференцируемы. В частности, каждая локально интегрируемая функция  имеет производные в обобщенном смысле всех порядков. (При этом, если функция f имеет обычную производную, то определяемый последней функционал не обязан совпадать с производной от f в смысле обобщенных функций.)

Смешанные производные обобщенных функций не зависят от порядка  дифференцирования: так, например, .

2.2. Пример.

Рассмотрим функцию 

 

Отвечающий  ей функционал будем также обозначать через .

Согласно  общей формуле , функционал действует на основную функцию так:

 

таким образом, в силу определения дельта-функции, .

Аналогично, как легко проверить, .

 

Заключение.

Преобразование Фурье стало  мощным инструментом, применяемым в  различных научных областях. В  некоторых случаях его можно  использовать как средство решения  сложных уравнений, описывающих  динамические процессы, которые возникают  под воздействием электрической, тепловой или световой энергии. В других случаях  оно позволяет выделять регулярные составляющие в сложном колебательном  сигнале, благодаря чему можно правильно  интерпретировать экспериментальные  наблюдения в астрономии, медицине и химии.

В наше время изучение преобразования Фурье главным образом сводится к поиску эффективных способов перехода от функций к их преобразованному виду и обратно.

 

Список использованной литературы.

1. Афонский А. А., Дьяконов В. П. Цифровые анализаторы спектра, сигналов и логики. Под ред. проф. В. П. Дьяконова — М: СОЛОН-Пресс, 2009. — С. 248.
2. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними/ Обобщенные функции, выпуск 1 – М.: Гос. изд-во физико-мат. лит-ры. – 1959 г. – 470 с.
3. http://ru.wikipedia.org/wiki/Преобразование_Фурье.