Приложение  определенного интеграла  в экономике

   В последнее  время появилось большое количество школ и классов, учащиеся которых  выбирают экономические специальности  в качестве своей дальнейшей деятельности. Как правило, учителя, работающие в  таких классах, дают учащимся более глубокие знания по обычным темам школьного курса математики, зачастую ориентируясь на программы для школ и классов с углубленным изучением математики. Но при такой организации обучения практически не рассматриваются экономические приложения той или иной темы, мало времени уделяется применению математического моделирования к решению экономических задач. Не является исключением и тема, посвященная приложениям определенного интеграла в других областях знаний.

   Традиционно практическое приложение интеграла иллюстрируется вычислением площадей различных фигур, нахождением объемов геометрических тел и некоторыми приложениями в физике и технике. Однако роль интеграла в моделировании экономических процессов не рассматривается. Зачастую об экономических приложениях интеграла не идет речи и в классах экономического направления. Вместе с тем, интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике.

   Остановимся на нескольких примерах использования интегрального исчисления в экономике. Начнем с широко используемого в рыночной экономике понятия потребительского излишка¹ (CS–consumer’s surplus). Для этого введем несколько экономических понятий и обозначений.

   Спрос на данный товар (D–demand) – сложившаяся на определенный момент времени зависимость между ценой товара и объемом его покупки. Спрос на отдельный товар графически изображается в виде кривой с отрицательным наклоном, отражающей взаимосвязь между ценой P (price) единицы этого товара и количеством товара Q (quantity), которое потребители готовы купить при каждой заданной цене. Отрицательный наклон кривой спроса имеет очевидное объяснение: чем дороже товар, тем меньше количество товара, которое покупатели готовы купить, и наоборот.

Аналогично определяется и другое ключевое понятие экономической  теории – предложение (S–supply) товара: сложившаяся на определенный момент времени зависимость между ценой  товара и количеством товара, предлагаемого  к продаже. Предложение отдельного товара изображается графически в виде кривой с положительным наклоном, отражающей взаимосвязь между ценой единицы этого товара P и количеством товара Q, которое потребители готовы продать при каждой цене.

   Отметим, что экономисты сочли удобным  изображать аргумент (цену) по оси ординат, а зависимую переменную (количество товара) по оси абсцисс. Поэтому графики функций спроса и предложения выглядят следующим образом (рис. 1).

   И, наконец, введем еще одно понятие, играющее большую  роль в моделировании экономических  процессов – рыночное равновесие (equilibrium). Состояние равновесия характеризуют такие цена и количество, при которых объем спроса совпадает с величиной предложения, а графически рыночное равновесие изображается точкой пересечения кривых спроса и предложения (рис. 2), E*(p*; q*) – точка равновесия².

    В дальнейшем для удобства анализа  мы будем рассматривать не зависимость Q = f(P), а обратные функции спроса и предложения, характеризующие  зависимость P = f(Q), тогда аргумент и  значение функции графически будут изображаться привычным для нас образом.

   Перейдем  теперь к рассмотрению приложений интегрального  анализа для определения потребительского излишка. Для этого изобразим  на графике обратную функцию спроса P = f(Q). Допустим, что рыночное равновесие установилось в точке E*(q*; p*) (кривая предложения на графике отсутствует для удобства дальнейшего анализа, рис. 3).

   Если  покупатель приобретает товар в  количестве Q* по равновесной цене P*, то очевидно, что общие расходы  на покупку такого товара составят P*Q*, что равно площади заштрихованной фигуры A (рис. 4).

   Но  предположим теперь, что товар  в количестве Q* продается продавцами не сразу, а поступает на рынок  небольшими партиями њ Q. Именно такое допущение вместе с предположением о непрерывности функции спроса и предложения является основным при выводе формулы для расчета потребительского излишка (см. [2–4]). Отметим, что данное допущение вполне оправдано, потому что такая схема реализации товара довольно распространена на практике и вытекает из цели продавца поддерживать цену на товар как можно выше.

   Тогда получим, что сначала предлагается товар в количестве Q₁ = D Q (рис. 5), который продается по цене P₁ = f(Q1). Так как по предположению величина њ Q мала, то можно считать, что вся первая партия товара реализуется по цене P₁, при этом затраты покупателя на покупку такого количества товара составят P₁D Q, что соответствует площади заштрихованного прямоугольника S₁ (рис. 5).

 Далее на рынок поступает вторая партия товара в том же количестве, которая продается по цене P₂ = f(Q₂), где Q₂ = Q₁ + D Q – общее количество реализованной продукции, а затраты покупателя на покупку второй партии составят P₂D Q, что соответствует площади прямоугольника S₂.

 Продолжим процесс  до тех пор, пока не дойдем до равновесного количества товара Q* = Qn. Тогда становится ясно, какой должна быть величина D Q для того, чтобы процесс продажи товара закончился в точке Q*:

В результате получим, что цена n-й  партии товара Pn = f(Qn) = f(Q*) = P*, а затраты  потребителей на покупку этой последней  партии товара составят PnD Q, или площадь прямоугольника Sn.

Таким образом, мы получим, что суммарные затраты потребителей при покупке товара мелкими партиями D Q равны

Так как величина D Q очень мала, а функция f(Q) непрерывна, то заключаем, что приблизительно равна площади фигуры B (рис. 6), которая, как известно, при малых приращениях аргумента D Q равна определенному интегралу от обратной функции спроса при изменении аргумента от 0 до Q*, т. е. в итоге получим, что

 Вспомнив, что  каждая точка на кривой спроса Pi = f(Qi) (i = 1, 2, ..., k) показывает, какую сумму  потребитель готов заплатить за покупку дополнительной единицы продукта, получим, что площадь фигуры B соответствует общей денежной сумме, которую потребитель готов потратить на покупку Q* единиц товара. Разность между площадью фигуры B и площадью прямоугольника A есть потребительский излишек при покупке данного товара – превышение общей стоимости, которую потребитель готов уплатить за все единицы товара, над его реальными расходами на их приобретение (площадь заштрихованной фигуры на рисунке 7).

Таким образом, потребительский излишек можно посчитать по следующей формуле

Далее рассмотрим несколько задач на определение  излишка потребителя.

Задача 1. Известно, что спрос на некоторый товар задается функцией p = 4 – q², где q – количество товара (в шт.), p – цена единицы товара (в руб.), а равновесие на рынке данного товара достигается при p* = q* = 1. Определите величину потребительского излишка

Решение.

Задача 2. Известно, что спрос на некоторый товар описывается функцией а предложение данного товара характеризуется функцией q = 500p. Найдите величину излишка потребителя при покупке данного товара.

Решение. Для расчета излишка потребителя сначала определим параметры рыночного равновесия (p*; q*). Для этого решим систему уравнений

Таким образом, p* = 2, q* = 1000.

Запишем формулу  для вычисления потребительского излишка (1), где f(q) – функция, обратная функции 

Отсюда 

Задача 3. Известно, что спрос на некоторый товар задается функцией предложение – функцией p = q + 11. Определите величину выигрыша потребителя при покупке данного товара.

Решение. Выигрыш потребителя есть не что иное, как потребительский излишек. Для того, чтобы найти его, определим сначала равновесные значения количества товара и его цены, решив для этого систему

Решим первое уравнение  системы.

(q + 1)(q + 11) = 231,

q² + 12q – 220 = 0,

(q + 22)(q –  10) = 0.

Учитывая, что q ³ 0, получим q* = 10. Следовательно, p* = 10 + 11 = 21. Тогда 

Подобно излишку  потребителя определяется и излишек  производителя (PS–producer surplus). Не вдаваясь в детали, отметим, что излишек производителя представляет собой разницу между той денежной суммой, за которую он был бы готов продать Q* единиц товара, и той суммой, которую он реально получает при продаже этого количества товара. Графически он может быть представлен площадью фигуры, ограниченной кривой предложения, осью цен и прямой, параллельной оси абсцисс, проходящей через точку рыночного равновесия (рис. 8).

Очевидно, что         (2)

   Рассмотрим, как полученная формула может быть применена при решении задач.

Задача 4. Известно, что кривая предложения некоторого товара имеет вид p = 4q³ + 2, а равновесие на рынке данного товара достигается при объеме продаж Q* = 3. Определите добавочную выгоду производителя при продаже такого количества продукции.

Решение. Сначала из функции предложения найдем равновесное значение цены P* = f(q*) = f(3) = 4*3³ + 2 = 110.

Подставим полученное значение в формулу (2)  
 
 

   Мы  рассмотрели, как определяются излишки  потребителя и производителя. Отметим, что сумма этих двух излишков –  площадь заштрихованной фигуры на рисунке 9 – характеризует общий эффект производства и потребления на рассматриваемом рынке.

   Однако  абсолютные значения PS и CS представляют небольшой интерес для экономистов. Экономистов больше волнует ответ  на вопрос, как и на сколько изменится  излишек потребителя в результате проведения того или иного мероприятия  государственной политики, оказывающей влияние на равновесие на рынке, в частности, при установлении налогов, введении субсидий и т. п.

   Допустим, например, что товар облагается налогом  в размере t на единицу товара (такой  налог экономисты называют потоварным налогом), тогда его цена увеличится с P₁ до P₂ (P₂ = P₁ + t).

   Влияние данного налога на благосостояние потребителя  характеризует ситуация, представленная на рисунке 10.

   Таким образом, получаем, что D CS – уменьшение благосостояния потребителя, оцениваемое с помощью потребительского излишка, есть разница площадей двух фигур, соответствующих CS₁ и CS₂, и по форме напоминает трапецию, площадь которой, в свою очередь, равна сумме площадей фигур T₁ и T₂, т. е. D CS =S_T1 +S_T2 , S_T1 где измеряет потери излишка потребителя, вызванные увеличением цены единицы товара на размер налога и равна tQ₂, а S_T1 измеряет потери благосостояния потребителя, связанные с уменьшением количества потребляемого товара (Q₂ < Q₁), и равна

   Таким образом, для случая введения потоварного  налога в размере t имеем 

   В общем  же случае результат изменения потребительского излишка вследствие увеличения цены на товар может быть записан, например, в следующем виде

   Рассмотрим  пример оценки последствий введения потоварного налога.

Задача 5. Дана кривая спроса . Каковы денежные потери потребителя при введении на данный товар налога с единицы продаж в размере 1 руб., если известно, что первоначально рыночное равновесие на данном рынке наблюдалось при цене P* = 2 руб.?

Решение. Данную задачу можно решать разными способами. Проанализируем основные из них.

1-й способ  основан на использовании формулы  (3) для вычисления D CS.

   Для определения  потребительских потерь при увеличении равновесной цены товара с 2 руб. до 3 руб. посмотрим, как при этом меняется объем продаж. Если P₁ = 2, то Q₁ = 16, при P₂ = 3 Q₂ = 14. Следовательно,

2-й способ. Так  как в данном случае функция спроса линейна, то рассматриваемую ситуацию легко представить графически (рис. 11).

Получим, что

   Несмотря  на то, что второй способ проще первого и не требует знаний математического анализа, тем не менее учащиеся должны быть знакомы и с общим методом нахождения изменения потребительского излишка при помощи определенного интеграла, так как часто функции спроса и предложения не линейны и имеют более сложный вид.