Применение графического способа при решении задач с параметрами

Содержание

Введение 2

Аналитический способ решения задач с параметрами. 3

Квадратные уравнения, содержащие параметр. 8

Теорема Виета 8

Обратная теорема 8

Системы линейных уравнений с параметром. 11

Применение графического способа при решении задач с параметрами. 13

 

 

Введение

Актуальность: 

Данная тема актуальна  тем, что определяет необходимость  уметь решать такие уравнения  с параметрами при сдачи Единого Государственного экзамена и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.

Цель работы:

1. дать определения понятиям уравнение с параметрами;
2. показать принцип решения данных уравнений на общих случаях;
3. показать решение уравнений с параметрами.

 

Аналитический способ решения задач с параметрами.

Задачи с параметрами  встречаются фактически с самого начала изучения математики, когда  начинают оперировать с буквами, как с числами. Они играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи предлагаются на едином государственном экзамене и на вступительных экзаменах в вузы.

Если в уравнении некоторые  коэффициенты заданы не конкретными  числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.

Естественно, такой небольшой  класс задач многим не позволяет  усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как  бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а  во-вторых, - степень свободы общения  ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют  предварительных исследований. Как  правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.

Основное, что нужно усвоить  при первом знакомстве с параметром, - это необходимость осторожного, деликатного обращения с фиксированным, но неизвестным числом.

Предполагается, что эти  параметры могут принимать любые  числовые значения, т.е. одно уравнение  с параметром задает множество уравнений.

Обычно в уравнение  буквами обозначают неизвестные.

Решить уравнение - значит:

Найти множество значений неизвестных, удовлетворяющих этому уравнению. Иногда уравнения, кроме букв, обозначающих неизвестное (X, Y,Z), содержат другие буквы, называемые параметрами (a, b, c). Тогда мы имеем дело не с одним, а с бесконечным множеством уравнений.

При одних значениях параметров уравнение не имеет корней, при  других - имеет только один корень, при  третьих - два корня.

При решении таких уравнений  надо:

1. найти множество всех доступных значений параметров;
2. перенести все члены, содержащие неизвестное, в левую часть уравнения, а все члены, не содержащие неизвестного в правую;
3. привести подобные слагаемые;
4. решать уравнение ax = b.

Уравнение вида , где а и в – некоторые постоянные, называется линейным уравнением. В нем возможно три случая решения:

1. – любое действительное число. Уравнение имеет единственное решение х = .
2. а = 0, b = 0. Уравнение принимает вид: 0х = 0, решениями являются все .
3. . Уравнение 0х = b решений не имеет.

Существенным этапом решения  уравнений с параметрами является запись ответа. Особенно это относится  к тем примерам, где решение  как бы «ветвится» в зависимости  от значений параметра. В подобных случаях  составление ответа – это сбор ранее полученных результатов. И  здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.

Пример 1. Решить уравнение с параметром:

1) .

Решение. Если , то ; – любое действительное число.

Если , то .

Ответ: Если , – любое действительное число; если , то .

2) .

Решение. Преобразуем данное уравнение к виду .

Если , т.е. , то получим уравнение , которое не имеет корней.

Если,т.е. , то уравнение имеет единственный корень .

Ответ: Если , то ; если ,то уравнение не имеет корней.

3) .

Решение. Приведем данное уравнение к виду:

.

Если , то уравнение принимает вид , его решением является любое действительное число.

Если , то уравнение принимает вид , это уравнение не имеет решений.

Если , то уравнение имеет единственное решение .

Это значит, что каждому  допустимому значению соответствует единственное значение .

Ответ: Если , то – любое действительное число; если , то уравнение не имеет решений; если , то .

Пример 2. Решить относительно уравнение .

Решение. Из условия следует, что , т.е. , .

Умножив обе части данного  уравнения на , получим уравнение

, или .

При .

Теперь необходимо проверить, нет ли таких значений , при которых найденное значение .

при .

Таким образом, при , и данное уравнение имеет единственное решение .

При , и уравнение решений не имеет.

Замечание: если при каком-либо значении параметра данное уравнение не имеет смысла, то оно при этом значении параметра и не имеет решения. Обратное утверждение не верно.

Ответ: если , и , то ; если , и , то уравнение решений не имеет.

Пример 3. При каких значениях параметра уравнение имеет бесконечное множество решений?

Решение. Приведем данное уравнение к виду .

Если ,т.е. , то .

Если ,т.е. , то уравнение примет вид , его решением является любое число.

Ответ: уравнение имеет бесконечное множество решений при .

Пример 4. При каких значениях параметра уравнение не имеет решений?

Решение. Приведем данное уравнение к виду .

Если , т.е. , то .

Если ,т.е. то уравнение примет вид , это уравнение не имеет решений.

Ответ. уравнение не имеет решений при .

 

Квадратные  уравнения, содержащие параметр.

Уравнение вида , где –некоторые числа , -переменная, называется квадратным уравнением.

Для решения квадратного  уравнения следует вычислить  дискриминант .

Если , то квадратное уравнение имеет единственный корень:   (или два, но сливающихся корня ).

Если , то квадратное уравнение имеет два корня: .

Если , то квадратное уравнение не имеет корней.

Если один из коэффициентов  или равен нулю, то квадратное уравнение можно решать, не вычисляя дискриминанта:

1. , ; , то .

2. , то .

Следующие теоремы также  помогают при решении квадратных уравнений с параметрами.

Теорема Виета (прямая) утверждает: если являются корнями квадратного уравнения , то выполняются соотношения:

 и .

Обратная  теорема утверждает: если для некоторых постоянных существуют числа , удовлетворяющие соотношениям  и , то эти числа  являются корнями уравнения .

Пример 5. Решить относительно : .

Решение. Если , тогда уравнение примет вид , отсюда .

Если , то .

Если , т.е

Если , то уравнение не имеет решений.

Ответ: если , то ; если , то уравнение имеет два решения если  то уравнение не имеет решений.

Пример 6. При каких значениях уравнение имеет единственное решение?

Если , тогда уравнение примет вид , отсюда .

Если , то .

Уравнение будет иметь  единственное решение при . , отсюда .

Ответ: уравнение имеет  единственное решение при  или .

Пример 7. При каких значениях уравнение имеет более одного корня?

Решение. Если , то уравнение примет вид , которое имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию задачи.

Если , то .

Уравнение имеет более  одного корня при .

Рассмотрим функцию .

Найдем нули этой функции, решая уравнение .

.

Функция принимает положительные  значения, если .

Ответ: уравнение имеет более одного корня, если и .

Пример 8. Найти коэффициент , если корни уравнения .

связаны соотношением .

Решение.

По теореме Виета .

Составляю систему:

 

Решая эту систему, получаем, что

Тогда .

Ответ: .

 

Системы линейных уравнений с параметром.

Системы линейных уравнений  вида 

 

1) имеют единственное  решение, если ;

2) не имеют решений,  если ;

3) имеют бесконечное множество  решений, если .

Пример 9. Найти все значения параметра , при котором система имеет бесконечное множество решений:

 

Система имеет бесконечное  множество решений, если выполняется  условие:

.

1) ;

ОДЗ.

, отсюда 

. Оба значения  входят в область допустимых  значений.

2)  ;

ОДЗ:

, отсюда .

 Оба значения  входят в область допустимых  значений.

3) ;

ОДЗ:

, отсюда .

Ответ: при  система имеет бесконечное множество решений.

Пример 10. При каких  и  система 

а) имеет единственное решение;

б) не имеет решений.

 

а) система имеет единственное решение, если ;

Это условие выполняется  при .

б) система не имеет решений, если;

1) , отсюда .

2) , отсюда .

3)  , отсюда ; т.е. при

Ответ: а) при система имеет единственное решение;

б) при система не имеет решений.

 

Применение графического способа при решении задач с параметрами.