Проверка гипотезы о законе распределения

Федеральное государственное  образовательное учреждение Высшего  профессионального образования

 

 

Кафедра «Высшая математика»

 

 

 

Курсовая работа

 

По дисциплине «Высшая  математика»

По теме «Проверка  гипотезы о законе распределения»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                              Омск – 2012

 

 

 

 

Задание

 

Дана выборка из генеральной  совокупности случайной величины X.

 

19,1	18,4	18,7	18,4	19,2	18,8	18,9	18,7
18,6	20,0	19,0	20,6	20,3	22,2	18,3	21,8
18,3	19,8	18,6	19,1	18,8	18,3	19,4	19,5
18,6	20,9	19,1	18,4	19,6	18,5	18,6	20,4
24,9	19,4	20,0	20,5	20,2	18,9	19,0	20,4
19,7	18,3	18,5	18,2	18,8	18,8	19,0	18,7
18,2	21,1	18,9	19,6	18,7	18,6	19,2	18,2
19,8	19,9	18,8	18,9

 

Требуется:

1. построить гистограмму (многоугольник относительных частот) и выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины X;
2. проверить эту гипотезу по критерию Пирсона (уровень значимости выбрать самостоятельно);
3. найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии (доверительную вероятность выбрать самостоятельно).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Математическую статистику определяют как науку о методах  получения и обработки результатов  наблюдений (измерений) для установления закономерностей в массовых случайных  явлениях.

Особое внимание в  математической статистике получили два  типа задач: оценивание и статистическая проверка гипотез. Первая задача состоит в получении точечных и интервальных оценок параметров распределения, вторая заключается в проверке согласованности результатов эксперимента с гипотезой о распределении вероятностей случайной величины. Необходимо отметить, что если бы можно было провести неограниченное число наблюдений, то параметры распределения, например, практически были бы определены и ни о какой статистической задаче говорить уже не пришлось бы. Таким образом, задача статистических выводов появляется именно тогда, когда надо получить наилучшие, в некотором смысле, выводы по ограниченному числу наблюдений. Но тогда сами наблюдения должны отвечать некоторым требованиям. Каким же? Естественно предположить, что результаты наблюдений случайны и независимы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ПОСТРОЕНИЕ  ГИСТОГРАММЫ

 

1.1 Построение вариационного ряда

 

Под случайной выборкой объема n понимают совокупность случайных величин Х₁, Х₂ ...,Х_п, не зависимых между собой. Случайная выборка есть математическая модель проводимых в одинаковых условиях независимых измерений.

Выборка содержит 60 наблюдаемых значений, поэтому выборка имеет

объем n = 60.

Операция расположения значений случайной величины по возрастанию называется ранжированием. Последовательность элементов х⁽¹⁾ х⁽²⁾ ... х^(к) называется вариационным рядом, элементы которого называют вариантами.

Проранжировав статистические данные, получаем вариационный ряд (табл. №1).

 

Таблица №1

Вариационный ряд

19,1	18,4	18,7	18,4	19,2	18,8	18,9	18,7
18,6	20,0	19,0	20,6	20,3	22,2	18,3	21,8
18,3	19,8	18,6	19,1	18,8	18,3	19,4	19,5
18,6	20,9	19,1	18,4	19,6	18,5	18,6	20,4
24,9	19,4	20,0	20,5	20,2	18,9	19,0	20,4
19,7	18,3	18,5	18,2	18,8	18,8	19,0	18,7
18,2	21,1	18,9	19,6	18,7	18,6

 

 

 

 

1.2 Построение интервального вариационного ряда

 

Опытные данные объединяем в группы так, чтобы в каждой отдельной  группе значения вариант будут одинаковы, и тогда можно определить число, показывающее, сколько раз встречается соответствующая варианта в определенной (соответствующей) группе.

Численность отдельной группы сгруппированного ряда опытных данных называется выборочной частотой соответствующей варианты x_(i) и обозначается m_i; при этом:

где n – объем выборки.

Отношение выборочной частоты  данной варианты к объему выборки  называется относительной выборочной частотой и обозначается P_i^*, т.е. P_i^* – число (частота) попаданий значений X в i-й разряд, i = 1, 2, …, k.

Т.к. согласно теореме Бернулли имеем, что , т.е. выборочная относительная частота сходится по вероятности соответствующей вероятности, тогда из условия: .

Интервальным вариационным рядом распределения называется упорядоченная совокупность частичных  интервалов значений С.В. с соответствующими им частотами или относительными частотами.

Для построения интервального  вариационного ряда выполняем следующие действия:

1. Находим размах выборки R = x_max – x_min. Имеем R = 24,9 – 18,2 = 6,7
2. Определяем длину частичного интервала = 1.
3. Определяем начало первого частичного интервала x₁ = 18.

После разбиения на частичные  интервалы просматриваем ранжированную выборку и определяем, сколько значений признака попало в каждый частичный интервал, включая в него те значения, которые больше либо равны нижней границы и меньше верхней границы. Строим интервальный вариационный ряд (табл. №2).

 

Таблица №2

Интервальный вариационный ряд

№	x1 xi
1	[18 – 19)	18,5	31	0,52	0,52
2	[19 – 20)	19,5	16	0,27	0,27
3	[20 – 21)	20,5	9	0,15	0,15
4	[21 – 22)	21,5	2	0,03	0,03
5	[22 – 23)	22,5	1	0,02	0,02
6	[23 – 24)	23,5	0	0	0
7	[24 – 25)	24,5	1	0,02	0,02

 

 

1.3 Построение гистограммы плотности относительных частот.

      Выдвижение гипотезы о законе распределения генеральной

      совокупности X

 

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины , а высоты равной – плотность частности.

По данным таблицы  №2 строим гистограмму (рис. №1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1 – Гистограмма

 

Гистограмма частот является статистическим аналогом дифференциальной функции распределения (плотности) f(x) случайной величины X. Площадь гистограммы равна единице.

Выдвижение гипотезы о законе распределения генеральной совокупности.

По виду гистограммы  выдвигаем гипотезу о показательном законе распределения генеральной совокупности X.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4 Нахождение  точечных оценок, математического  ожидания

 

Оценками математической статистики называют приближенные значения числовых характеристик или параметров законов распределения генеральной совокупности X вычисленные на основе выборки.

Оценка называется точечной, если она определяется числом или  точкой на числовой оси.

Оценка (как точечная, так и интервальная) является случайной величиной, так как она вычисляется на основе экспериментальных данных и является функцией выборки.

 

,

M(x) = 1 / 60 · (0,5 · 31 + 1,5 · 16 + 2,5 · 9 + 3,5 · 2 + 4,5 · 1 +

+ 5,5  · 0 + 6,5 · 1) = 1,33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.5 Нахождение точечных оценок параметров закона и функции

      плотности

 

Точечные оценки параметров для показательного закона распределения находятся по формулам:

 

,

 

.

 

Результаты расчетов представим в таблице 3.

 

Таблица №3

Точечные оценки параметров закона и функции плотности

№				Pi
1	- 0,375	0,1023	0,0128	0,5129
2	- 1,125	0,2372	0,0296	0,2447
3	- 1,875	0,3683	0,0460	0,1156
4	-2,625	0,3894	0,0486	0,0546
5	-3,375	0,2780	0,0347	0,0258
6	-4,125	0,1354	0,0169	0,0122
7	-4,875	0,0440	0,0055	0,0058

 

 

Исходя из полученных данных построим выравнивающую кривую функции плотности. Кривую f(x) построим на гистограмме (рис.№2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2 – Гистограмма с выравнивающей кривой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ПРОВЕРКА  КРИТЕРИЯ ПИРСОНА

 

Нам необходимо установить противоречат ли опытные данные гипотезе о распределении случайной величины X.

Для ответа на этот вопрос пользуются критериями согласия, чаще всего применяется критерий X² (хи-квадрат Пирсона). Это мера расхождения между теорией и практикой.

Чтобы проверить правдоподобность гипотезы необходимо выбрать меру расхождения  между теоретическим и выборочным расхождением.

 

,

= 60 · (0,00306 + 0,000027 + 0,00696 + 0,0356 + 0,01216 +

+0,00029 + 0,00229) = 4.3385

 

Дальнейшие вычисления, необходимые для определения  расчетного значения выборочной статистики , проведем в таблице №4.

 

Таблица №4

Выборочная статистика

№	nPi
1	30,774	- 0,84	0,7056	0,1838
2	14,682	0,12	0,0144	0,0016
3	6,936	2,2	4,84	0,3507
4	3,276	- 5,58	31,14	1,1356
5	1,548	2,56	6,55	0,6277
6	0,732	- 0,1	0,01	0,002

 

Продолжение таблицы №4

7

0,348

- 0,68

0,46

0,2752