Рационал, иррационал, тригонометриялық функцияларды интегралдау

С.Ж.АСФЕНДИЯРОВ  АТЫНДАҒЫ ҚАЗАҚ ҰЛТТЫҚ МЕДИЦИНА УНИВЕРСИТЕТІ		КАЗАХСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ  С.Д.АСФЕНДИЯРОВА

 

 

 

     

   

   

    СӨЖ

РЕФЕРАТ: Рационал, иррационал және тригонометриялық функцияларды интегралдау.

    

 

 

   

      Орындаған: Мақажанова С.

      Тексерген:  Рысқан А.

 

 

 

                                                       

                                                            

                                           

                                              Алматы 2012

Жоспар:

1. Рационал функцияларды интегралдау.
2. Иррационал функцияларды интегралдау.
3. Тригонометриялық функцияларды интегралдау.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         Рационал функцияларды интегралдау

Рационал функция  және оны жай бөлшектер қосындысына  жіктеу. Екі алгебралық көпмүшеліктердің қатынасы

,      

  ,

  , _,

рационал функция немесе рационал бөлшек деп аталады.

 және  -нақты көпмүшеліктер және -нақты айнымалы.

, ,     

(мұндағы  -нақты сандар; )

түріндегі бөлшектер жай  бөлшектер деп аталады.

Егер  болса, онда бөлу арқылы функциясын оның бүтін бөлігі мен дұрыс бөлшек деп аталатын , бөлшектің қосындысы түрінде жаза аламыз:

,     

Енді (6) бөлшекті дұрыс  деп алып, оны жай (7) бөлшектердің қосындысына жіктеу мәселесін қарастырайық.

Теорема. , бөлшегінің бөлімі (9) теңдік түрінде жіктелінсін:

,   

Онда ол бөлшекті жалғыз түрде келесі қосындыға жіктеуге болады:

  

Мұндағы -тұрақты сандар.

 

 

Екі көпмүшеліктің  қатынасы ретінде өрнектелетін R(x) функциясын рационал функция деп атайды.

(1)

мұндағы m, n –теріс емес бүтін сандар.

Егер n<m болса, онда R(x) дұрыс бөлшек деп, ал  болса,  бұрыс бөлшек деп аталады.

Келесі төрт түрде  берілген бөлшектерді жай бөлшектер  деп атайды.

мұндағы a, A, N, M, p, q тұрақты, ал   k- бүтін сан, .

Рационал функцияларды интегралдағанда оларды дұрыс бөлшекке келтіріп, дұрыс бөлшекті жай бөлшектердің қосынды түрінде жазамыз.

Жоғары алгебра пәнінде, коэффициенттері нақты сан болатын m дәрежелі көпмүшелік төмендегі канондық түрде жіктелетіні дәлелденген

            (2)

Мұндағы және

Егер бұрыс рационал бөлшек болса , онда оны, көпмүшелікті көпмүшелікке бөлу арқылы бөлщектің бүтін бөлімін анықтап,

түріне келтіреміз. Мұндағы , демек дұрыс бөлшек. Ал кез келген дұрыс бөлшек жай бөлшектердің қосындысына төмендегі түрде жіктеледі:

    

                 (4)

Бұл тепе- теңдік. Сондықтан анықталмаған 

А₁, А₂,...,А_k1, B₁,C₁,B₂,C₂,…,B_e1,C_e1,… коэффициентерді, бөлшектерді ортақ бөлімге келтіріп алымдарын теңестіру арқылы есептеледі.

Мысал 1  интегралын есептейік

Интеграл астындағы бұрыс  бөлшекті көпмүшеліктерді бөлу арқылы дұрыс бөлшекке келтіреміз.

 интегралды жеке есептейміз. Интеграл астындағы бөлшектің бөлімі  х²+х=х(х+1)  түрінде жіктеп,  дұрыс бөлшегін жай бөлшектердің қосындысы ретінде жазамыз:  Өрнектің оң жағын ортақ бөлімге келтіріп алымдарын теңестіреміз: 4х-1=А(х+1)+Вх. Енді х=-1 деп алсақ, онда В=5; ал х=0 десек, А=-1.

Сондықтан Демек,

 яғни, берілген интеграл

.

Мысал 2 интегралын есептеу керек.

Шешуі  Интеграл астындағы бөлшек дұрыс. Сондықтан оны жай бөлшектердің қосындысына жіктейміз. Бөліміндегі х³ –тің дәрежесінің кему ретімен үш қосындыға жіктеп жазамыз.

;

 A,B,C,D- белгісіздерді анықталмаған коэффициенттерді табу әдісімен есептейміз. Ол үшін өрнектің оң жағын ортақ бөлімге келтіреміз де алымдарын теңестіреміз.

х-тің коэффициентерін теңестіру арқылы келесі жүйеге келеміз.

  Бұл жүйенің шешімі:

Ендеше .

 

Мысал 3 интегралын есептеу керек.

Шешуі (4) теңдігі бойынша интеграл астындағы рационал бөлшекті жай бөлшектердің қосындысы ретінде жазамыз:

           A,B,C,D- белгісіздерін табу үшін осы теңдіктің оң жағын ортақ бөлімге келтіріп, алымдарын теңестіріп, ұқсас мүшелерді біріктіріп, х-тің дәрежесінің төмендеу ретімен жазамыз. Сонда

      

               (2)

Енді х-тің тең дәрежелерінің коэффициентерін теңестіру арқылы келесі жүйеге келеміз.

Бұл жүйенің шешімі:

Осыдан

 

 

      Иррационал функцияларды интегралдау

Рационал емес элементар  функциялардың интегралдарын айнымалыны алмастыру арқылы рационал функцияның интегралына келтіруге болатын яғни, интегралды рационалдауға болатын жағдайларды қарастырайық.

- аргументтері  пен -тің рационал функциясы болсын, ол -өрнегін алу үшін пен -ке тек арифметикалық амалдар қолданылады деген сөз.

І. Есептеу керек: , - мұндағы -тұрақты сандар, -натурал сан, . Интеграл астындағы функция сызықты бөлшек иррационалдық деп аталады

Бұл интеграл айнымалы ауыстыруы арқылы рационалданады. Шынында да,

;

өрнектері рационал функциялар. Ал рационал функциялардың рационал функциясы – рационал функция.

 

1 түріндегі интеграл. Мұндағы, R-рационал функция, m,n,r,s –бүтін сандар. Егер бөлшектерінің ортақ бөлімі к болса, онда алмастыру арқылы интеграл астындағы функция z –тен тәуелді рационал функцияға келтіріледі: . Мұндағы R(z) рационал функция.

2 түрдегі интеграл, m-натурал сан, a,b,c,d-тұрақты сандар және ad-cb≠0.

 бөлшек-сызықтық иррационал функция деп аталады.

Бұл функция      

алмастыруы арқылы бұл интеграл рационал функциядан алынатын интегарға келтіріледі           

Мысал  1

Белгісіз A, B, C, D коэффициенттерін табу үшін.

 тепе-теңдігінен

теңдеулер жүйесіне келеміз. Бұл жүйенің шешімі:

Мысал 2

3  - түрдегі интеграл, мұндағы

 квадраттық иррационал функция деп аталады. A,B,C=тұрақты шамалар. Егер теңдеуінің  шешімдері нақты сандар болса, онда бұл интеграл  2 пункттегі иррационал функцияға келтіріледі.

Егер теңдеуінің нақты шешімі болмаса, онда              алмастыруы арқылы келесі интегралдардың біріне келеді.  Мұндағы бірінші интеграл , екіншісі интеграл , үшінші интеграл алмастыруы арқылы рационал функциядан алынатын интегралға келтіріледі.

4 Эйлер алмастыруы

а) Егер А>0 болса, онда алмастыруы ал A<0 болып C>0 болса алмастыруы орындалады. Бұл алмастырулар Эйлердің бірінші және екінші алмастырулары деп аталады.

Мысал 3

Шешуі

A=4>0  Эйлердің бірінші алмастыруы бойынша,

 

Бұл рацинал функция.

 J-ге қойсақ, .   Алғашқы айнымалы х-ке оралып,

    болатынын көреміз.

Мысал 4 . Мұндағы ал . Эйлердің екінші алмастыруы бойынша, . Осы алмастыру арқылы берілген интеграл астындағы функция рационалданады да,

 болады.

 

            Тригонометриялық функцияларды интегралдау

     

түріндегі интегралды табайық. Бұл интеграл

       

ауыстыруы арқылы әрқашанда  рационал функцияның интегралына келеді. Расында да,

,   

,   

     

болады, яғни -рационал функциялар арқылы өрнектеледі.

 

,  m,n бүтін (нақты) сандар. Интеграл астындағы функция мына жағдайларда рационалданады:

а) Егер болса, t=cosx алмастыруы, ал болса t=sinx алмастыруы арқылы:

ә) m, n-жұп және нөлден үлкен немесе нөлге тең болса, онда  дәреже төмендететін келесі формулалар пайдаланылады:

                  

                    (2)

Мысал 1

Мысал 2 

Шешуі

б) Егер m мен  n-сандары жұп болып,және біреуі теріс немесе m+n нөлден кіші жұп болса, онда келесі алмастырулар қолданылады.

 

   (5.3)

Мысал 3  интегралды есептеу керек.

Шешуі 

2 түріндегі интеграл,  мұндағы R-интеграл астындағы рационал  функция. Бұл функция

 алмастыруы арқылы рационалданады. Бұл алмастыру

формулалары арқылы sinx пен cosx –тен тәуелді рационал функцияны z-тен тәуелді рационал функцияға келтіреді. Осы мағынада бұл алмастыру универсал алмастыру деп аталады.

Ескерту: Кей жағдайда орнына алмастыруы пайдаланылуы мүмкін.

Мысал 4 

Шешуі  алмастыруы бойынша,

         

3 , , -түріндегі интегралдар.

формулалар арқылы есептеледі.

 

Пайдаланылған  әдебиеттер:

 

1. К.А.Хасеинов, МАТЕМАТИКА КАНОНДАРЫ, Алматы, 2004 жыл
2. Наумов Ю.Е. Интегральные логические схемы. – М.: Радио и связь. 1980
3. А.П.Рябушко ВышМат 2009