Решение пределов

Решение пределов типа ∞/∞ 

Чаще всего  такие примеры содержат многочлены в числителе и знаменателе, причем многочлены одной и той же степени. Тогда самое простое вынести  за скобку слагаемое с самой высокой  степенью в числителе и знаменателе ( они удачно сократятся), а в остальных слагаемых переменная окажется в знаменателе ( а раз она стремится к бесконечности, то такая дробь будет стремиться к нулю). В итоге скорее всего решение такого предела будет определяться множителя при максимальной степени х.

Решение пределов типа ∞/0 

Такие примеры  удобно решать с помощью умножения  на сопряженное слагаемое.

Замечательные пределы 

Ряд примеров на пределы строится на основе типовых  пределов, которые называются замечательные  пределы. Их всего два: первый замечательный  предел и второй замечательный предел. Первый замечательный предел выглядит так: 
 
 
 
 

Первый замечательный  предел служит для раскрытия неопределенности 0/0. 

Второй замечательный  предел имеет несколько записей, среди которых самые известные  и применяемые при решении пределов следующие: 
 
 

Второй замечательный  предел служит для раскрытия неопределенности 1∞

Разложение функций  в ряд

Ряд примеров, состоящих  из элементарных функций можно решить с помощью разложения этих самых  функций в ряд. При этом важно  помнить, что разложения имеют место  лишь при определенных значениях  аргумента ( чаще всего, при стремлении этих аргументов к нулю – так называемый ряд Маклорена) . При их решении полезно будет держать в голове следующую таблицу разложений в ряд основных элементарных функций:

Правило Лопиталя 

Некоторые пределы  содержать хорошо дифференцируемые функции и представляют собой  неопределенности типа 0/0 или ∞/∞. Тогда удобно применить правило Лопиталя, которое заключается в следующем: 

Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой  окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть 

 или Тогда,  если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем  

Понятнее правило  Лопиталя звучит так: предел отношения  двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу  отношения их производных. Последняя формула справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует. Тогда правило Лопиталя работать не будет.