Решение систем линейных уравнений по формуле Крамера

Решение систем линейных уравнений  по формуле Крамера.

 

    Пусть дана система n-линейных уравнений с n-неизвестными х₁, х₂,..., х _n:

     а₁₁х₁+а₁₂х₂+...+а_1nх_n=b₁,

     а₂₁х₁+а₂₂х₂+...+а_2nх_n=b₂,

    ... .... .... ... .... ... ... ... ....

    а_n1х₁+а_n2х₂+...+а_nnх_n=b_n.

    Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных, и её определитель называются соответственно матрицей системы (1) и определителем этой системы.

    

     Пусть А_ij (i, j =1, 2,...,n)– алгебраические дополнения элементов определителя D. Преобразуем систему (1) так, чтобы каждое из её уравнений содержало только одно неизвестное. Для этого умножим первое уравнение системы на А₁₁, второе – на А₂₁,..., n-е – на А_n1 и сложим их; затем умножим уравнения системы соответственно на А₂₁, А₂₂, ..., А_n2 и сложим их, и т.д., наконец, умножим уравнения системы соответственно на А_n1, А_n2, ..., А_nn и опять сложим. Получим новую систему уравнений:

     Dх₁= b₁А₁₁+ b₂ А₂₁+...+ b_n А_n1,

    Dх₂= b₁А₁₂+ b₂ А₂₂+...+ b_n А_n2,

    ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...,

    Dх_т= и₁А_1т+ и₂ А_2т+ююю+ и_т А_ттю

    Правые  части уравнения системы (2) обозначим  соответственно символами D₁, D₂, ..., D_n, где

    Тогда система уравнений (2)примет вид:

     Dх₁=D₁,

    Dх₂=D_2,

     ... ... ... ...,

    Dх_n=D_n.

    Если D¹0, то из этих уравнений находим

    Полученные  формулы называются формулами Крамера; они дают решение системы (2), полученной из системы (1).

    Формулы Крамера (5) являются единственным решением системы (1), поскольку система (2) выведена из системы (1). Таким образом, следует

Теорема: если определитель системы (1) отличен от нуля, то система имеет единственное решение, получаемое по формулам Крамера.

    Правило Крамера. Система n уравнений с n переменными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное, определяемое следующим правилом: значение каждого из переменных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом переменном столбцом свободных членов.

  Решим следующую систему уравнений  с 4-мя неизвестными:

                             2х₁+5х₂+4х₃+х₄=20, 

                            х₁+3х₂+2х₃+х₄=11,  

                            2х₁+10х₂+9х₃+7х₄=40, 

                            3х₁+8х₂+9х₃+2х₄=37.

    Определитель  матрицы, составленный из коэффициентов  при неизвестных данной системы D= -3, отличен от нуля, поэтому к системе применимо правило Крамера. Используя редактор формул, запишем определители D₁, D₂, D₃ и D₄, используя формулу (3).

    

Для этого:

1. Включите компьютер.
2. После того, как на экране монитора появится рабочий стол операционной системы Windows, откройте окно Microsoft Word.
3. Вставьте объект Microsoft Equation  3.0.
4. Запишем определитель  D₁ в формульный редактор. Для этого:

• запишите  D₁, используя шаблон нижних индексов ;

• вставьте шаблон определителя 4-го порядка в формульном редакторе;
• занесите числовые значения определителя в свободные поля;

    Повтором  предыдущих действий, запишите в редакторе  формул определители D₂¸D₄ (см. рис. 9.1)

    В качестве вычислительного средства воспользуемся инструментами программы Excel– 97.

5. Откройте окно Microsoft Excel.
6. Перепишите определители D, D₁, D₂, D₃ и D₄, из Word в Excel(см. рис. 9.2).

            Рис. 9.2        Рис. 9.3

7. Используя функцию МОПРЕД, которая находится в мастере функций ƒ_х на стандартной панели, найдите, чему будут равны все пять определителей (см. рис. 9.3)

     Получаем, что D= -3, D₁= -3, D₂=  -6, D₃= -6 и D₄= -1,11Е-14. Так как результат вычислений определителя D₄ записан в виде числа с мантиссой, следовательно, поменяем формат ячейки Е25 на ДРОБНЫЙ, после чего определитель D₄ станет равным нулю.

8. Найдём неизвестные х₁, х₂, х₃, х₄. Для этого:

• активизируйте ячейку G10 и запишите в не формулу: , после чего нажмите на клавишу Enter. В результате получим х₁=1;

• активизируйте ячейку G15 и запишите в не формулу: , после чего нажмите на клавишу Enter. В результате получим х₂=2;
• активизируйте ячейку G20 и запишите в не формулу: , после чего нажмите на клавишу Enter. В результате получим х₃=2;
• активизируйте ячейку G25 и запишите в не формулу: , после чего нажмите на клавишу Enter. В результате получим х₄=0.

 
 
 
 
 
 
 
 

Задания для самостоятельной  работы. 

     Пользуясь методом Крамера, решить следующие  системы уравнений: