Решение систем линейных уравнений

Министерство  образования и  науки Республики Бурятия 
Комитет по образованию  
г. Улан-Удэ 
 
 

Научно-практическая конференция 

«Шаг  в будущее» 
 
 
 
 
 
 
 

ТЕМА: «РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

         Работу выполнила Сапунова Анастасия Германовна

          Муниципальное образовательное учреждение

          средняя общеобразовательная школа №2                                      

          с углубленным изучением отдельных  предметов            

          9 «А» класс  
 
 
 

                          

План

• I. Введение

 

• II. История  возникновения системы    

        уравнений 

• III. Системы уравнений
• 1.  Что такое  система уравнений? 
• 2.  Способы решения систем уравнений
1. Решение системы способом подстановки
2. Решение системы способом сравнения
3. Решение системы способом сложения
4. Решение системы графическим способом

          2.5     Решение системы методом определителей

• 3. Что такое система линейных уравнений с n неизвестными?
• 4. Матричный метод решения систем линейных уравнений
• 5. Правило Крамера
• 6. Метод Гаусса

 

• IV. Заключение

 
 

                         2 
 
 
 

I. ВВЕДЕНИЕ 

  Тема моего доклада – различные  решения систем линейных уравнений.

  Теория уравнений занимает ведущее место в алгебре и математике в целом. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и не редко это системы уравнений.

   Система уравнений представляет собой большой и важный момент математики, решающий как более простыми методами, так и с помощью графических функций.

   В учебниках мы знакомимся с несколькими способами решения систем уравнений, и отрабатываем решение по заранее известным правилам. Вместе с тем, современные научно – методические исследования показывают, что использование разнообразных методов и способов позволяет значительно повысить эффективность и качество изучения решений  систем уравнений.

   Выбор способа должен оставаться  за учащимся. Каждый ученик должен уметь верно и рационально решать  системы уравнений. И для этого необходимо знать все возможные способы решений, которые могут пригодиться на экзамене ЕГЭ, при поступлении в ВУЗы  и  даже различных  жизненных ситуациях.

Все сказанное выше определяет актуальность  темы выполненной работы.

    Проблема исследования заключается в выделении двух важных для начинающих разбираться в данной теме методах решения систем уравнений, метода Гаусса и правила Крамера. 
     Цель работы состоит в  изучении теоретических основ и их практическое  применение. 

ЗАДАЧИ  ДОКЛАДА 

1. Произвести  анализ учебно – методической литературы по решению систем линейных уравнений.
2. Произвести анализ различных способов решения систем уравнений
3. Изучить историю развития систем уравнений.
4. Изучить различные способы решения систем уравнений и апробировать материал на практике.

 
 
 
 
 
 
 
 

II. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ  СИСТЕМЫ

УРАВНЕНИЙ

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных  задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами.

Некоторые алгебраические приемы решения линейных уравнений  были известны еще 4000 лет назад в  Древнем Вавилоне. 
 
 
 
 

III. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 

Что такое  система  уравнений?   

• Системой  уравнений называется некоторое  количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что  все уравнения должны выполняться  одновременно
• Каждая пара значений переменных, которая одновременно является решением всех уравнений системы, называется решением системы
• Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство
• Решить систему уравнений - это значит найти все её решения или установить, что их нет

 

Способы решения систем уравнений 

Решение системы способом подстановки

• Из какого-либо уравнения выразить одну переменную через другую
• Подставить полученное выражение для переменной в другое уравнение и решить его
• Сделать подстановку найденного значения переменной и вычислить значение второй переменной
• Записать ответ: х=…; у=… .

 

Решение системы способом сравнения

• Выразить у через х (или х через у) в каждом уравнении
• Приравнять выражения, полученные для одноимённых переменных
• Решить полученное уравнение и найти значение одной переменной
• Подставить значение найденной переменной в одно из выражений для другой переменной и найти её значение
• Записать ответ: х=…; у=… .

 
 

Решение системы способом сложения

• Уравнять модули коэффициентов при какой-нибудь переменной
• Сложить почленно уравнения системы
• Составить новую систему: одно уравнение новое, другое - одно из старых
• Решить новое уравнение и найти значение одной переменной
• Подставить значение найденной переменной в старое уравнение и найти значение другой переменной
• Записать ответ: х=…; у=… .

 
 

Решение системы графическим способом

• Выразить у через х в каждом уравнении
• Построить в одной системе координат график каждого уравнения
• Определить координаты точки пересечения
• Записать ответ: х=…; у=… , или (х; у)

 

Решение системы методом  определителей

• Составить табличку (матрицу) коэффициентов при неизвестных и вычислить определитель D.
• Найти  - определитель D_x, получаемый из D заменой первого столбца на столбец свободных членов.
• Найти  - определитель D_y, получаемый из D заменой второго столбца на столбец свободных членов.
• Найти значение переменной х по формуле D_x / D.
• Найти значение переменной у по формуле D_y / D.
• Записать ответ: х=…; у=… .

 
 
 
 
 
 
 

Что такое система  линейных уравнений  с n неизвестными 

   Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

   

   где a_ij и b_i (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x₁,…,x_n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a_ij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

   Коэффициенты  при неизвестных будем записывать в виде матрицы  , которую назовём матрицей системы.

   Числа, стоящие в правых частях уравнений, b₁,…,b_m называются свободными членами.

   Совокупность  n чисел c₁,…,c_n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c₁,…,c_n вместо соответствующих неизвестных x₁,…,x_n.

   Наша  задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут  возникнуть три ситуации:

1. Система может иметь единственное решение.
2. Система может иметь бесконечное множество решений. Например, . Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.
3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, , если бы решение существовало, то x₁ + x₂ равнялось бы одновременно нулю и единице.

   Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.

   Рассмотрим  способы нахождения решений системы. 
 
 
 

   Матричный метод решения  систем линейных уравнений 

   Матрицы дают возможность кратко записать систему  линейных уравнений. Пусть дана система  из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

   

   Рассмотрим  матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

   Найдем  произведение

   

   т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему  можно записать в виде

    или короче A∙X=B.

   Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

   Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A^-1, обратную матрице A: . Поскольку A^-1A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A^-1B.

   Заметим, что поскольку обратную матрицу  можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A^-1B.