Решение заданий по "Алгебре и геометрии"

№1.

 

Дано:

 

Выяснить, образует ли данное множество  функций на произвольном отрезке  линейное пространство, относительно обычных операций сложения и умножения на число (результат пояснить на примере). Определить размерность линейного пространства.

 

Всех геометрических пространственных векторов.

 

Решение:

 

Пусть заданы два вектора:

 

     

 

Данные функции образуют линейное пространство, если выполняются следующие условия:

 

1. если  , то вектор принадлежит множеству всех геометрических пространственных векторов
2. если , то вектор принадлежит множеству всех геометрических пространственных векторов

 

Определим, образуют ли заданные вектора линейное пространство:

 

1)

     Вектор принадлежит множеству всех геометрических пространственных векторов

 

2) при 

   

Вектор  принадлежит множеству всех геометрических пространственных векторов

 

Ответ: Множество всех геометрических пространственных векторов является линейным пространством.

 

Линейное  пространство является n-мерным, т. е. .

 

 

№2.

 

Дано:

 

Найти координаты вектора  в базисе , если этот вектор задан в базисе .

 

 

 

Решение

 

Координаты  вектора в базисе определяются по формуле:

 

, где  - обратная матрица перехода

 

Запишем матрицу перехода и найдем :

 

;  ;

;

 

Найдем координаты вектора  в базисе :

 

 

Ответ:

 

 

№3.

 

Дано:

 

Пусть . Определить, являются ли линейными следующие преобразования.

 

 

Решение

 

Преобразование является линейным, если выполняются следующие условия:

 

1)

2)

 

Определим, являются ли линейными  следующие преобразования:

 

 

 

1)

 

 

Ответ (1): преобразование является линейным.

 

2)

 

 

Ответ (2): преобразование не является линейным.

 

 

3)

 

 

Ответ (3): преобразование является линейным.

 

№4.

 

Дано:

 

Пусть , , . Выполнить указанные действия над операторами.

 

.

 

Решение

 

Выпишем матрицы  преобразования и :

 

  

 

Выполним над матрицами указанные  действия:

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

№5.

 

Дано:

 

Найти матрицу  в базисе , где , , , если эта матрица задана в базисе .

 

 

Решение

 

Матрица в базисе находится по формуле:

 

, где 

 

- матрица преобразования в  базисе  ;

- обратная матрица для матрицы  перехода из _в ;

- матрица преобразования в  базисе _;

- матрица перехода из  _в .

 

Запишем матрицу перехода :

 

 

Найдем обратную матрицу  через взаимную матрицу:

 

 

  

 

 

Найдем матрицу преобразования :

 

 

 

Ответ:

 

 

 

№6.

 

Дано:

 

Для данного линейного преобразования найти:

 

1. Собственные числа и собственные векторы линейного преобразования.
2. Показать, что собственные векторы линейно независимые и взаимно ортогональные.
3. Построить ортонормированный базис, в котором матрица имеет диагональный вид.

 

 

Решение

 

1. Запишем вековой определитель:

 

 

 

Приравняем определитель к нулю и найдем собственные числа линейного преобразования

 

 

Найдем собственные вектора линейного преобразования для каждого :

 

1)

 

Запишем систему уравнений:

 

 

Найдем ранг матрицы:

 

 

 

Решим систему уравнений:

 

   

 

Запишем координаты вектора:

 

 

Вектор в ортонормированном  базисе:

 

 

2)

 

Запишем систему уравнений:

 

 

Найдем ранг матрицы:

 

 

 

Решим систему уравнений:

 

     

Запишем координаты вектора:

 

 

Вектор в ортонормированном  базисе:

 

 

 

3)

 

Запишем систему уравнений:

 

 

Найдем ранг матрицы:

 

 

 

Решим систему уравнений:

 

     

Запишем координаты вектора:

 

 

Вектор в ортонормированном  базисе:

 

 

 

2. Докажем, что векторы взаимно  ортогональные

 

Если векторы ортогональные, то их скалярное произведение равно  нулю.

 

 

 векторы взаимно ортогональные.

 

Докажем, что векторы линейно  независимые:

 

Три некомпланарных вектора линейно  независимы.

 

 

 

Смешанное произведение не равно нулю векторы некомпланарные векторы линейно независимые.

 

3. Приведем матрицу к диагональному  виду:

 

 

 

№7.

 

Дано:

 

Найти собственные значения и собственные  векторы линейного оператора  , который задан матрицей . Приводится ли эта матрица к диагональному виду? В случае положительного ответа привести эту диагональную матрицу и базис, в котором матрица имеет диагональный вид.

 

 

Решение

 

Запишем вековой определитель:

 

Приравняем определитель к нулю:

 

 

Найдем собственные числа:

 

  

 

Найдем собственные вектора  линейного преобразования для каждого  :

 

1)

 

Запишем систему уравнений:

 

 

Найдем ранг матрицы:

 

 

Решим систему уравнений:

 

   

 

Запишем координаты вектора: 

 

Координаты вектора в ортонормированном  базисе: 

 

 

Т.к. удалось найти только одно собственное  число, то матрицу нельзя привести к  диагональному виду.