Розв’язування нерівностей з модулями

    З даної нерівності дістаємо:

0,5< ½х½<2,

звідки

0,5< х <2 або -2< х <-0,5.

    Відповідь: : х Î (-2; -0,5) ∪ (0,5; 2).    

    Приклад 3:

   Розв’язати нерівність:

    х²-½х½- 2 < 0.

    Розв’язання:

    Маємо:

-1< ½х½<2.

    Але ½х½ 0, тому

0

½х½<2,

звідки

-2< х <2.

  Відповідь: х Î (-2; 2).       

  Приклад 4:

   Розв’язати нерівність:

    3х²+5½х½+1 < 0.

    Розв’язання:

    Ця нерівність не має розв’язків, оскільки при будь-яких значеннях х ліва частина нерівності набуває додатних значень.

    Відповідь: х Î Ø.

    Приклад 5:

   Розв’язати нерівність:

    4х² - 4½х½+1 > 0.

    Розв’язання:

    Квадратна функція 4х - 4½х½+1 відносно аргументу ½х½має дискримінант, що дорівнює нулеві. Тому ця функція при будь-яких значеннях ½х½, крім½х½= 0,5, набуває додатних значень.

    Отже, розв’язком даної нерівності є довільне число х, крім ½х½= 0,5.

    Відповідь:  х Î (-∞; -0,5) ∪ (-0,5; 0,5) ∪ (0,5; ∞).

     Приклад 6:

  Розв’язати нерівність:

  ½2х² + 3х - 3½>2.

    Розв’язання:

    Ця нерівність еквівалентна сукупності  двох нерівностей: 

17

 

або

2х² + 3х  – 5 >0 і 2х² + 3х – 1 < 0.

    Розв’язуючи ці нерівності, знаходимо:

x<-2,5; x>1 i

< x <

   Приклад 7:

   Розв’язати нерівність:

   ½х² + 5х - 10½<4.

    Розв’язання:

    Ця нерівність еквівалентна системі двох нерівностей:

або

Розв’язуємо цю систему                                        

звідки

-7<x<-6 i 1<x<2.

   Приклад 8:

   Розв’язати нерівність:

    >3.

    Розв’язання:

    З даної нерівності виходить, що

>3 або <-3.

    Але при всіх значеннях х  х²+х+1>0. Тому, помножаючи обидві частини кожної з цих нерівностей на х²+х+1, дістанемо:

х² - 3х – 1 > 3x² + 3x + 3 або x² - 3x – 1 < -3x² - 3x - 3,

звідки

х² + 3х + 2 < 0 або 2х² + 1<0.

    Друга з цих нерівностей не  має розв’язків. З першої нерівності знаходимо:

18

 -2 < x < -1.

    Відповідь: хÎ(-2;-1).

   Приклад 9:

  Розв’язати нерівність:

    >0.

    Розв’язання:

    Ця нерівність еквівалентна сукупності двох систем нерівностей:

 і 

    Розв’язуємо першу систему. Дістаємо:

    звідки знаходимо такі розв’язки:

-1< x <3 i x > 4.

    Розв’язуємо другу систему. Маємо:

 

звідки

-4 < x <-3.

    Дана нерівність має такі розв’язки:

-4 < x < -3, -1 <x < 3 i x > 4.

    Відповідь: хÎ(-4;-3) ∪ (-1; 3) ∪ (4;+∞).

    Приклад 10:

  При яких значеннях параметра k нерівність

   

     справджується при будь-яких значеннях  х?

    Розв’язання:

    З даної нерівності виходить, що

-3< <3,

оскільки  при всіх значеннях х х +х+1>0, то

-3(х

+х +1) < x -kx +1<3(x +x+1).

    Дістаємо систему нерівностей:

19

  або

    За умовою, ця система нерівностей має справджуватися при всіх значеннях х. Це можливо, коли дискримінанти лівих частин нерівностей від’ємні. На підставі цього утворюємо нову систему нерівностей:

 

звідки 

або

-5 < k < 1.

    Відповідь: хÎ(-5; 1).

    Приклад 11:

    Розв’язати нерівність:

    ½x +x - 6½< x +½x - 5½- 1.

    Розв’язання:

    Тричлен x +x – 6 має корені х = -3 і х = 2. Тому при х<-3 або при х>2  х +х – 6 > 0, а при -3 <х<2  х +х - 6<0. Далі при х>5  х–5>0, а при х<5  х - 5<0.

   Розглянемо 4 випадки.

    А) Знайдемо всі розв’язки нерівності, які задовольняють умову х<-3.

    При таких значеннях х х +х - 6>0 і х-5<0. дана нерівність матиме вигляд:

х

+х-6<х - (х-5)-1,

звідки

2х<10 і х<5.

    Шукані розв’язки повинні задовольняти як знайдену нерівність х<5, так і нерівність х<-3, прийняту за умовою, тому вони є розв’язками системи нерівностей:

звідки  х<-3.

    Б) Знайдемо всі розв’язки нерівності, які задовольняють умову -3 х <2.

    При таких значеннях х  х +х - 6<0 і х -5<0. Дана нерівність матиме вигляд:   

-х

-х+6<х -(х-5)-1,

або

20

х

-1>0,

звідки 

х<-1 або х>1.

    Розв’язуючи систему нерівностей

знаходимо шукані розв’язки:

-3

х<-1 і 1<x<2.

    В) Знайдемо всі розв’язки нерівності, які задовольняють умову 2 х<5.

    При таких значеннях х  х +х-6>0 і х-5<0. Дана нерівність матиме вигляд:

х

+х-6<х - (х - 5) – 1,

звідки

2х<10 і х<5.

    Розв’язуємо систему нерівностей:

    Дістаємо

2

х < 5.

    Г) Знайдемо всі розв’язки нерівності, які задовольняють умову х 5.

    При таких значеннях х  х +х-6>0 і х-5>0. Дана нерівність матиме вигляд:

х

+х - 6 < х +х – 5 - 1,

звідки

0х<0.

    Ця нерівність не має розв’язків.

    Отже, дана нерівність має такі  розв’язки:

х<-3, -3

х< -1, 1< х <2 і 2 х <5,

що коротше  можна записати так:

х <-1 і 1<х<5.

    Відповідь: хÎ(-∞;-1) ∪ (1; 5).   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

21

8. Висновки

    В своїй праці я узагальнила і систематизувала знання про нерівності з модулями. Зокрема, розглянула найпростіші нерівності з модулями, нерівності, що містять модуль під знаком модуля, суму і різницю модулів, квадратні нерівності. Основну увагу приділила теорії до теми наукової роботи, а також прикладам, які відображають основний зміст моєї праці. Я розглянула різні способи розв’язання нерівностей:

    1) використовуючи алгебраїчний зміст модуля;

    2) спираючись на геометричний  зміст модуля;

    3) використовуючи властивості модуля числа.

    Розв’язання нерівностей з модулями має велике освітнє значення, а саме:

    1) полегшує вивчення цієї теми  під час уроків математики;

    2) сприяє формуванню в учнів  абстрактного та алгоритмічного видів мислення, логічного мислення розгалуження, наочно-образного мислення, пошукової еврістичної діяльності;   

   3) допомагає успішному складанню екзаменів та іспитів з математики;

У подальшому я планую теж працювати над  цією темою, використовуючи більші знання та глибшу інформацію про нерівності з модулями.