Ряды Тейлора и Макларена

     _{Министерство  Сельского Хозяйства  Р.Б.}

     _{Гродненский Аграрный Университет} 
 
 
 
 

     _{Реферат по высшей математике на тему:}

     _{Ряды  Тейлора и Макларена} 
 
 

     _{Выполнил:}

     _{Студент 1 курса 4группы}

     _{экономического  факультета} 
 
 
 

     _{Гродно 2011}

      _План  

      _{Введение}

     _{Оказывается, большинство практически  встречающихся математических функций могут быть с любой точностью представлены в окрестностях некоторой точки в виде степенных рядов, содержащих степени переменной в порядке возрастания. Например, в окрестности точки х=0:}

     _{При использовании рядов, называемых рядами Маклорена (=Макларена), смешанные функции, содержащие, скажем, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные функции, могут быть выражены в виде чисто алгебраических функций. С помощью рядов зачастую можно быстро осуществить дифференцирование и интегрирование.} 

       Ряды Тейлора и Макларена 

     Всякая функция, бесконечно дифференцируемая в интервале  (т.е. a-R<x<a+R), может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд по степеням х-а, который называется рядом Тейлора и имеет вид:  

     Это равенство справедливо лишь в  том случае, если остаточный член (остаток  ряда) формулы Тейлора стремится  к нулю (R_n(x) 0) при неограниченном возрастании n ( ), т.е. .

     В этом случае написанный справа ряд  сходится и его сумма равна  данной функции f(x). 

     f(x)=Sn(x)+Rn(x) Rn(x)=f(x)-Sn(x) 

     Sn(x)-сумма первых членов; Rn(x)-остаток ряда.

     Для оценки остатка ряда можно пользоваться формулой:  

     остаток ряда в формуле Ла-Гранда, где  «с» заключено между «а» и  «х» (а<с<х).

     Если  в ряде Тейлора а=0, то ряд примет вид:    

     Разложение  элементарных функций  в ряды Тейлора и Макларена.

     1. Разложим в ряд  Макларена (то есть по степеням  х) функцию e^x.

     Получаем  разложение функции в ряд Макларена. 

     f(x)=e^x, f’(x)=e^x,…, f⁽ⁿ⁾(x)=e^x,…; a=0, f(0)=1, f’(0)=1,… f⁽ⁿ⁾(0)=1 

     Получаем  разложение функции f(x)=e^x в ряд Макларена: 

     I.

     a=0, C_n=1/n!

     Приведем  разложение в ряд Макларена следующих  функций. 

     II.

     III.

     IV.

     V.  

     Приближенные вычисления значений с помощью рядов. 

     _{Условия применния рядов  Маклорена (=Макларена).}  

     _{1) Для того, чтобы  функция f(x) могла  быть разложена  в ряд Маклорена (=Макларена) на интервале (-R;R) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Маклорена (=Макларена) для данной функции стремился к нулю при k→∞ на указанном интервале (-R;R).} 

     _{2) Необходимо чтобы  существовали производные  для данной функции  в точке а=0, в окрестности которой мы собираемся строить ряд Маклорена (=Макларена).} 

     _{Численное интегрирование с  использованием рядов  Маклорена (=Макларена).}  

     _{Значения  многих интегралов нельзя найти с помощью  каких-либо аналитических  методов. Мы уже рассказывали о вычислении таких интегралов с помощью  формулы трапеций,  формулы Симпсона. Другой метод нахождения числового значения определенного интеграла - выражение функции в виде ряда Маклорена (=Макларена) с последующим поочередным интегрированием каждого члена}