Пусть число c₀ имеет в последовательности x₁, x₂,_… номер k, т.е. c₀= x_k. Так как c₀= x_k, то c_k по построению последовательности отрезков. С другой стороны, c₀ есть общая точка всех отрезков последовательности отрезков и значит, c₀ . Полученное противоречие показывает, что сделанное допущение неверно и что множество есть несчетное множество. Теорема 6 доказана.

   Определение 4. Будем говорить, что множество А имеет мощность континуума , если оно эквивалентно множеству вещественных чисел отрезка .

   Можно показать, что эквивалентными являются:

1. все интервалы ,
2. все отрезки (сегменты) ,
3. все полуинтервалы и .

   Все они эквивалентны множеству  и поэтому каждое из указанных множеств является множеством мощности континуума. Множество R вещественных чисел и множество I иррациональных ( вещественных чисел) также имеет мощность континуума.

   Многие  свойства множеств мощности континуума  аналогичны свойствам счетных множеств. Сформулируем без доказательства некоторые  теоремы.

   Теорема 7. Сумма (объединение) конечного или счетного множества множеств, имеющих мощность c.

   Теорема 8. Множество Е  всевозможных бесконечных последовательностей натуральных чисел имеет мощность c.

   Замечание. В этой теореме рассматриваются всевозможные последовательности, не только возрастающие.

   Теорема 9. Пусть множество М состоит из элементов, различаемых n индексами x₁, x₂,_… , x_n, причем каждый из этих индексов независимо от других принимает континуум значений. Тогда множество М= также имеет мощность континуума.

   Замечание. Эта теорема остается верной и тогда, когда каждый из элементов множества М имеет счетное множество индексов, каждый из которых независимо от других принимает континуум значений.

   Теорема 10. Множество всех подмножеств множества N натуральных чисел имеет мощность c.

   Дополнением к теореме 7 является следующая теорема.

   Теорема 11. Пусть множество А есть объединение множеств A_x: А= , где x пробегает некоторое множество мощностей c, а каждое из множеств A_x также имеет мощность c. Тогда и множество А имеет мощность c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§4. Теорема Кантора-Бернштейна

   Теорема 12. Если каждое из двух данных множеств эквивалентно части другого, то данные множества эквивалентны.

   Доказательство. Пусть имеем множества А и В, и пусть одновременно А~В₁ и В~А₁, где А и . Докажем, что А~В. При этом мы можем считать, что А₁ и В₁ правильные части А и В, так как в противном случае нечего было бы доказывать.

   В силу условия В~А₁, можно установить взаимно-однозначное соответствие между элементами В и А₁, при этом В₁, как правильная часть В, окажется во взаимно-однозначном соответствии с некоторой правильной частью А₂ множества А₁. Тогда будем иметь А~В₁ по условию, В₁~А₂ по построению А₂, поэтому А~А₂, причем . Если бы теперь удалось доказать, что А~А₁, то, учитывая условие В~А₁, мы и получили бы требуемое А~В.

   Таким образом, доказательство теоремы сводится к доказательству утверждения:

   Если  и А~А₂, т.е. множество, содержащееся в одном из двух эквивалентных множеств и содержащее другое из них, само эквивалентно этим множествам.

   Установим взаимно-однозначное соответствие между эквивалентными множествами  А и А₂. Тогда А₁, как правильная часть А, окажется во взаимно-однозначном соответствии с некоторой правильной частью А₃ множества А₂. Следовательно, А₁~А₃ и . Устанавливая теперь взаимно-однозначное между А₁ и А₃ и замечая, что , мы будем иметь взаимно-однозначное соответствие между А₂ и частью А₄ множества А₃. Следовательно, и . Совершенно таким же образом можно построить множество , которое окажется во взаимно-однозначном соответствии с , когда установим взаимно-однозначное соответствие между эквивалентными А₂ и А₄. Продолжая этот процесс, мы получим последовательность множеств:

   причем, в силу построения множеств этой последовательности, будут иметь место соотношения:

   А~А₂, А₁~А₃, А₂~А₄, А₃~А₅, … , А_n~А_n+2, …                                              (1)

   Кроме того, можно заметить, что справедливы  и следующие соотношения: 
 

   Действительно, чтобы убедиться в справедливости этих соотношений, например соотношения ~ , вспомним, как было построено А₃. Установив взаимно-однозначное соответствие между А и А₂, через А₃ мы обозначили ту часть А₂ , которая оказалась во взаимно-однозначном соответствии с , а, следовательно, остальная часть А, т.е. , будет находиться во взаимно-однозначном соответствии с той частью А₂, которая останется при удалении А₃ из А₂, т.е. . Итак, между и существует взаимно-однозначное соответствие, т.е. ~ .

   Таким же образом из построения А₄ следует, что ~ и так далее. Вообще из построения А_n следует, что ~ .

   Теперь  заметим, что для множеств А и А₁, эквивалентность которых мы хотим доказать, имеют место следующие соотношения:                                                           (3)                                                          (4)

   Где

   Докажем хотя бы равенство (3). Пусть x − элемент левой части равенства (3), т.е. . Тогда либо x содержится во всех множествах А, А₁, А₂, … , А_n, … , а значит и в D, поэтому x входит в правую часть равенства (3), либо среди этих множеств есть последнее множество, например, А_n, содержащее x, но в этом случае , так как и , и поэтому опять x будет содержаться в правой части равенства (3). Пусть теперь x есть элемент правой части равенства (3). Тогда либо x содержится в D, а значит и в А, т.е. в левой части равенства (3), либо x содержится в одном из слагаемых вида ; но если , то , а так как , то опять . Итак, любой элемент левой части равенства (3) содержится в правой части, и обратно, что и доказывает справедливость равенства (3). Точно так же можно доказать справедливость равенства (4).

   Докажем наконец, что между элементами правых частей равенств (3) и (4) можно установить взаимно-однозначное соответствие. Действительно, так как в каждый из рассматриваемых сумм слагаемые не имеют попарно общих элементов, то достаточно каждое слагаемое одной суммы поставить во взаимно-однозначное соответствие с определенным слагаемым другой суммы. Но это можно сделать так: второе, четвертое, шестое, и т.д. слагаемые из (3) поставим во взаимно-однозначное соответствие с третьим, пятым, седьмым и так далее слагаемыми из (4), учитывая, что они попарно эквивалентны в силу соотношений (2), а остальные слагаемые в (3) и (4) одинаковые, поэтому достаточно каждое из этих слагаемых суммы (3) поставить во взаимно-однозначное соответствие с таким же слагаемым из суммы (4). Отсюда следует, что правые части равенств (3) и (4) эквиваленты, а значит эквиваленты и левые части, т.е. А~А₁.

    Теорема 12 доказана. 
 
 
 
 
 
 
 

Литература

1. Вулих Б.З.  Краткий курс теории функций  вещественной переменной.− М.:Наука, 1965.

2. Фролов Н.А.  Теория функций действительного  переменного. − М.:Учпедгиз, 1953.

3. Данилов А.Н. Счетные и несчетные множества (конспект лекций).