Шпаргалка по "Математике"

1.Матрица- система m х n чисел, распол-х в прямоуг. табл. сотоящей из m строк и n столбцов.

   Две матрицы А и В называются равными, если они одинакового размера и их соотв-е эл-ы равны.

  Элементы матрицы-векторы, многочлены, диффиринциалы, матр. меньшего размера.

   Матрица нулевая, если все её элементы равны нулю.

-называется  трансформированной  к матрице А, если её строки равны соответствующим столбцам матрицы А.

   Матрица называется ступенчатой, если каждый крайний элемент строки находится правее крайнего элемента предыдущей строки.

   Действия над матрицами:1)сложение (суммы двух матриц А и В назыв-ся такая матр-а С каждый элем-т которой=сумме соотв-х элем-в матр. А и В)

2)вычитание(разность суммы двух матриц А и В назыв-ся такая матр-а С каждый элем-т которой=разности  соотв-х элем-в матр. А и В)

3)умн-ие на число(произвед-е матр. А на число α назыв-ся такая матр. В каждый эл-т которой равен произв-ю числа α на соотв-й эл-т матр. А)

1,2    4)умножение матриц(матр. А наз-ся соглас-й с матр. В, если число столбцов матрицы А=числу строк матр. В)  Произвед-е матр А и В наз-ся такая матрица С каждый элемент которой вычисляется по формуле

Если det A≠0, то выч-ся по формулуле r

Где r=det А≠0 , А =.

6,7,8.  Система ур-й называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и не совместной, если она не имеет решений.

Совместная система  наз-ся определенной, если она имеет одинаковое решение и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две сист-ы наз-ся эквивалентными , если они имеют одно и тоже реш-ие.

Эквив-е сист-ы получаются  прпи эквивал-х преобразованиях, при усл-ии, что преобраз-я выполняются лишь над строками.

Ранг матр.= max числу её линейно-независимых строк.

Два вектора на плоскости  наз-ся коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на пересекающихся прямых.

Вектор называется равным, если они коллинеарны, одинаковр направлены и имеют равные длины.

Три вектора в  пространстве( или более) наз-ся компланарными, если они лежат в одной пл-ти или в параллельных плоскостях.

Линейные операции над векторами: сложение, вычитание, сложение в пространстве, умножение на число( α*а-вектор длина которого |α |*|а | и при α >0 сонаправлен с а, при α > 0 противоположно направлен ).

Чтобы сложить или  вычесть два вектора, нужно сложить  или вычесть их соответствующие  координаты.

10. Вектор- направленный отрезок

Скалярное произведение векторов а и b наз-ся число а*b=|a|*|b|*cosµ

-скалярный  квадрат    

Вектор ^ тогда и только тогда, когда их скалярное произведение =0

r=OM=OA+OB+OC;ро r=(x;y;z)

I,j,k-базисные векторы или орты

R=x*i+y*j+z*k

|r|=

2)Ax+By+C=0 – общее уравнение прямой  

3)y--ур-е прямой проход-й через т. М( ) с зад-м углов коэф-м

4)   - ур-е прямой прох-й чезез т.

5) – ур-е прямой в отрезках;              a и b- длины отрезков

14,15. Две прямые на пл-ти.Угол между прямыми.

Если прямые пересекаются:  :y=x + ;

tgµ=  Если ^

16. Эллипс и окружность: 1)окружность:  CM=R ; C(a;b)- центр ок-ти канонич-е ур-е окр-ти

2) Эллипс-множ-во всех точек в пл-ти сумма расстояний каждая из которых до двух данных точек для есть вел-а пост-я =2a. 

 Св-ва эл-а: M =2C;

A(x- )+C(z--ур-е пл-ти прох-й через т. ; ) и ^ n=(A;B;C);      n- нормальный вектор к данной пл-и.

2)Ax+By+Cz+D=0 – общее ур-е пл-и

3)- ур-е пл-и в отрезках

4) | | ур-е пл-и прох-й через 3 данные точки         

       ; );  ; ) ; ; )

19. Неполные ур-я пл-и: Общее ур-е пл-и Ax+By+Cz+D=0   наз-ся полным, если все его коэффициенты: A,B,C,D.

Если некоторые  из этих коэф-в =0, то ур-е пл-и будет наз-ся неполным.

Возм-е случаи:1) D=0,то Ax+By+Cz=0 – пл-ть прох-т через нач-о корд-т.

2)С=0,то Ax+By+D=0-пл-ть || оси Oz; B=0,то Ax+Cz+D=0-пл-ть || оси Oy;

A=0,то Cz+By+D=0-пл-ть || оси Ox;

3)Ax+By=0,то пл-ть прох через ось Oz;  Ax+Cz=0,то пл. прох. через ось Oy;

By+Cz=0,то пл-ть прох-т через ось Ox;

4)Ax+D=0,то пл-ть ||.пл-и Oyz;     By+D=0,то пл-ть ||.пл-и Oxz;

 Cz+D=0,то пл-ть ||.пл-и Oxy;

5)Ax=0-пл-ть Oxy;            By=0-пл-ть Oxz;              Cz=0-по-ть Oxy.

1)Эллипсоид:

Еслиa=b=c , то эллипсоид превращается в сферу.

OA=a;   OB=b;   OC=c.

2)Гиперболоид: а)-однол-й гип-д

z=h 

б) -двуполостный гип-д 

25.  Параболоиды: 1)а) z=   - эллипт-й параб-д.

б) x= 

в) y=

2) z= - гиперболический параб-д.

Из скалярного произведения : cosµ=(a*b)/ (|a|*|b|)

Угол между двумя вектррами:

11. Векторным произв-м  а на b, наз-ся третий вектор обознач-й а х b и удовл-й усл-ю: 1)  | а*b|=|a|*|b|*sinµ

2) а*b ^ каждому из вектров а х b

3) вектры а, b и а х b образуют в пространстве правую тройку векторов или левую тройку векторов.

Из условия )  | а*b|=|a|*|b|*sinµ следует, что | а*b|=(площадь пар-а построенных на векторах а и b).       r=

12. Произв-е (а х b )*с наз-ся векторно-скалярным произв-м 3 вект-в

(а х в )*с= авс =а*(b х с)

Модуль смеш-го произв-я |abc|=V , если V парал-да постр-о на векторах

OA=a=(;;  OB=b=(;  OC=c=(    

Векторы a,b,c компланарны тогда и только  тогда, когда их смешанное произведение равно 0.

rX==-147   rY ==-98   rZ= = - 49 

X =rr   Y =rr   Z = rr     Ответ: (3 ; 2 ; 1) 

7.Метод Гауса :

     Привидем к ступенчатому виду,  снизу вверх начинаем находить неизвестные. 

8. Средство матричного исчисления

 Решается с  помощью обратной матрицы (5), но в конце доб-ся Х=

  Определителем  или детерминантом квадратной  матр. 3-го порядка называется числом:

   Дополнительным  минором( к элементу , наз-ся опред-ль полученный из первонач-го вычеркив-я i –ой строки и j–го столбца.

  3,4 Св-ва определителей 2-го и 3-го порядков: 1)опред-ль не измен-ся при замене всех его строк соответствующими столбцами

2)при пересечении  двух строк или столбцов опред-ль меняет знак.

3) опред-ль с двумя одинак-ми столбцами или строками =0

4)множитель, общий  для эл-в некоторого столбца или строки , можно выносить за знак опред-ля.

5)Опред-ль равен=0, если все его эл-ы некоторого столбца или строки=0.

6)опред-ль с двумя пропорциональными столбцами или строками=0.

7)опред-ль не измен-ся,если к эл-м некот-го столбца или строки прибавиль соотв-е эл-ы другого столбца(стр), предвар-но умножив на один и тот же множ-ль.

8)Т.Розлож.. Опред-ль равен сумме произвед-й эл-в любой строки или столбца на их алгеброическое пополнение.

Угол между двумя  пл-ми- будем называть одна из двух смужных двухгранных угов образованных этими пл-ми.

Угол между двумя  пл-и совпадает с углом между нормальными векторами к этим пл-м.

Пусть даны 2 пл-и:y+z+y+z+

;

cosµ=

d= – рассояние от одной точки до пл-и

 до пл-и Ax+By+Cz+D=0.

1) Цилиндр второго порядка.:

а) -эллипт-й цил. 

б) -гиперб-й цил 
 

в) =2px – парабол-й цил. 
 

2)Конус второго порядка: 
 

1)Эллипсоид:

Еслиa=b=c , то эллипсоид превращается в сферу.

OA=a;   OB=b;   OC=c.

2)Гиперболоид: а)-однол-й гип-д

z=h 

б) -двуполостный гип-д 

25.  Параболоиды: 1)а) z=   - эллипт-й параб-д.

б) x= 

в) y=

2) z= - гиперболический параб-д.

1) Цилиндр второго порядка.:

а) -эллипт-й цил. 

б) -гиперб-й цил 
 

в) =2px – парабол-й цил. 
 

2)Конус второго  порядка: