Шпаргалка по "Математике"

2.Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

М(сХ) = сМ(Х)    

3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их вероятностей.

М(Х + Y) = М(Х) + М(Y)   

4. Математическое ожидание разности двух случайных величин равно разности их вероятностей.

М(Х - Y) = М(Х) - М(Y)   

Математическое  ожидание не дает полной характеристики закона распределения. Так, например, даны две случайных величины Х и Y следующими законами распределения: 

 

   Математические  ожидания их равны М(Х) = М(Y) = 0,однако возможные значения рассеяны по-разному: у случайной величины Y они сильнее отклоняются от среднего значения М(Y). И на практике, при одинаковой средней величине годовых осадков одна местность может быть благоприятной для земледелия, другая - нет.   Поэтому возникает необходимость введения новых числовых характеристик случайной величины, по которым можно судить о рассеянии возможных значений около математического ожидания. Этими характеристиками являются дисперсия D(X) и среднее квадратическое отклонение. 

Дисперсией  дискретной случайной  величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения.

D(X) = M[X -M(X)]²    

 
Свойства дисперсии: 
   1.Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания.

D(X) = M(X²) - M²(X)      

2.Дисперсия постоянной величины равна нулю.

D(c) = 0   

3.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

D(cX) = c²D(X)    

4.Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

D(X + Y) = D(X) + D(Y)   

5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

D(X - Y) = D(X) + D(Y) 

Средним квадратическим отклонением  дискретной случайной  величины Х называется квадратный корень из ее дисперсии.

      

Пример 53. Испытывается устройство, состоящее из четырех одинаковых приборов. Вероятность отказа каждого прибора равна 0,2. Составить закон распределения, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайного числа отказавших приборов.  
Решение.Х - число отказавших приборов. Возможные значения этой случайной величины 0, 1, 2, 3, 4. Их вероятности находим по формуле Бернулли   при n=4, p=0,2, q=0,8.

Проверка: 0,4096+0,4096+0,1536+0,0256+0,04016=1. Закон распределения будет иметь вид: 

 
М(Х)=0,4096·0+0,4096·1+0,1536·23+0,0256·3+0,0016·4=0,8;  
D(Х)=M(X²)-M²(X)=04096·0² +0,4096·1²+0,1536·2²+0,0256·3² +0,0016·4²-0,8²=0,64  
s(X)=  = 0,8.  
Ответ: М(Х)=0,8;D(Х)=0,64; s(Х)=0,8.  
Пример 54. Круглая мишень разделена диаметрами на 8 равных секторов и вращается вокруг оси О. При достаточно большой скорости вращения стрелок не может различать секторы и вынужден стрелять наугад. При попадании в 1-й сектор он выигрывает 1 руб., во 2-й - выигрывает 2 руб. и т.д., при попадании в 8-й сектор - выигрывает 8 руб. Выгодно ли стрелку участвовать в такой игре, если за каждый выстрел надо платить 5 руб.? 

Решение.Пусть случайная величина Х - размер выигрыша стрелка при одном выстреле. Так как все секторы одинаковы, вероятность попадания в каждый равны по 1\8. Найдем математическое ожидание выигрыша.  
M(X)=1/8 (1+2+3+4+5+6+7+8)=4,5(руб.).Это среднее значение выигрыша в данной игре, которое совпадает со "справедливой ценой" одного выстрела. Так как за выстрел приходится платить 5 руб., то стрелять много раз невыгодно.  
Пример 55. У охотника 4 патрона. Он стреляет по зайцу, пока не попадет или пока не кончатся патроны. Составить закон распределения числа израсходованных патронов, если вероятность его попадания при одном выстреле равна 0,6. Найти М(Х), D(Х), s(Х).  
Решение.. Х - число израсходованных патронов. Возможные значения Х = 1, 2, 3, 4. Находим их вероятности.  
      Р(Х=1) = 0,6;  
      Р(Х=2) = 0,24;  
      Р(Х=3) = 0,4·0,4· 0,6 = 0,096;  
      Р(Х=4) = 0,4 · 0,4· 0,4 · 0,6 + 0,4 · 0,4 · 0,4 · 0,4 = 0,064.  
Проверка: 0,6 + 0,24 + 0,096 + 0,064 = 1. Закон распределения Х: 

 
М(Х) = 0,6 · 1 + 0,24 · 2 + 0,096 ·3 + 0,064 · 4 = 1,624;  
D(Х) = 0,6· 1² + 0,24· 2² + 0,096 · 3² + 0,064 · 4² - 1,624² = 0,81;  
s(Х)=   
Ответ: М(Х) = 1,624; D(Х) = 0,81;s (Х) = 0,9.

11. Непрерывная случайная величина. Интегральная функция распределения: ее свойства, график. Вычисление  вероятности попадания случайной величины в заданный интервал.

 

 Кроме дискретных случайных  величин, возможные значения которых  образуют конечную или бесконечную  последовательность чисел, не заполняющих  сплошь никакого интервала, часто встречаются  случайные величины, возможные значения которых образуют некоторый интервал. Примером такой случайной величины может служить отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе. Такого рода, случайные величины не могут быть заданы с помощью закона распределения вероятностей р(х). Однако их можно задать с помощью функции распределения вероятностей F(х). Эта функция определяется точно так же, как и в случае дискретной случайной величины:  
 

 
   Таким образом, и здесь функция F(х) определена на всей числовой оси, и ее значение в точке х равно вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее чем х.  

Случайная величина   называется непрерывной, если для нее существует неотрицательная кусочно-непрерывная функция*  , удовлетворяющая для любых значений xравенству

 
   Функция   называется плотностью распределения вероятностей, или кратко, плотностью распределения. Если x₁<x₂, то имеем

      Пусть x – непрерывная случайная величина. Функция F(x), которая определяется равенством

       ,

называется  интегральной функцией распределения или просто функцией распределения случайной величины x. Непосредственно из определения следует равенство . Формула производной определённого интеграла по верхнему пределу в данном случае приводит к соотношению . Плотность распределения р(х) называют дифференциальной функцией распределения. 

Свойства:     

1)  ;     

2)  ;     

3)  ;     

4)  .

12. Плотность распределения вероятностей (дифференциальная функция распределения). Вычисление вероятности попадания случайной величины в заданный интервал.

 

Плотностью  распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).   Плотность распределения также называют дифференциальной функцией. Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема. Смысл плотности распределения состоит в том, что она показывает как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов. После введения функций распределения и плотности распределения можно дать следующее определение непрерывной случайной величины. Определение.  Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна на всей оси ОХ, а плотность распределения f(x) существует везде, за исключением( может быть, конечного числа точек. Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что некоторая случайная величина Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b.   Доказательство этой теоремы основано на определении плотности распределения и третьем свойстве функции распределения, записанном выше. Геометрически это означает, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, кривой распределения f(x) и прямыми x=a и x=b. Функция распределения может быть легко найдена, если известна плотность распределения, по формуле:   

Свойства  плотности распределения.

1) Плотность  распределения – неотрицательная  функция. 

2) Несобственный  интеграл от плотности распределения  в пределах от - ¥ до ¥ равен  единице.   

3)  ;  

4)   
 

13. Числовые  характеристики непрерывной  случайной величины.

Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(x). Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a,b].

Определение. Математическим ожиданием  непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл

Если возможные  значения случайной величины рассматриваются  на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:

 При этом, конечно, предполагается, что  несобственный интеграл сходится.

Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения.

По аналогии с дисперсией дискретной случайной  величины, для практического вычисления дисперсии используется формула:

Определение. Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии.