Шпаргалки по "Высшей математике"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Доверительные  границы и оценка значимости  характеристик корреляционного  уравнения связи.

Обычно корреляционный анализ основывается на данных некоторой выборочной части  генеральной совокупности. Предположим, при изучении связи между показателями получили уравнение регрессии и  вычислен коэффициент корреляции. Если появилась возможность привлечь все единицы генеральной совокупности для анализа и на этой основе вновь определить уравнение регрессии и вычислить коэффициент, возникнет вопрос будут ли совпадать полученные уравнения и коэффициент. Полное совпадение может быть лишь случайным, в целом же характеристики, полученные по выборочным данным будут с ошибками. Исчисление вероятности ошибок и оценка параметров генеральной совокупности по данным выборочного расчета явл. в большинстве случаев необходимой составной частью разработки ЭВМ. Рассмотрим вопрос об ошибке, полученной при замене значений зависимой переменной Y выборочными расчетными данными. В качестве меры такой ошибки выступает средний квадрат отклонений расчетных данных от фактических. Предположим, отклонение действительных значений от значений полученных от значений прямой линии регрессии подчиняются нормальному закону. Если по обе стороны от прямой линии регрессии на расстоянии б=Syx провести две прямые в соответствии со свойствами нормального распределения между полученными двумя прямыми будут находится 68% всех фактических значений Y,  P( I X-M(X) I <б)=2Ф(1)=2´0.34=0.68. Если по обе стороны от прямой линии регрессии провести прямые на расстоянии 2б то в полученную полосу с вероятностью 0.95 попадают фактические значения Y. Если по обе стороны провести прямые на расстоянии 2.58б, то между полученными прямыми будет 99% фактических значений Y. Если для какой то единицы входящей в генеральную совокупности но не вошедшую в выборочную, известно Х фактическое, то по уравнению линии регрессии можно определить для этой единицы Y_расч.=Y(х_факт). Нельзя ожидать, вычисленное значение Y совпадет с Y_факт., но границы, в которых заключено это фактическое значение указать можно. С вероятность 0.68 можно утверждать, что:Y_расч.(X_ф)-б≤ y(Х_ф)≤Y_расч(Х_ф)+б. С вероятностью 0.95 можно утверждать, что: Y_расч.(X_ф)-26≤ y(Х_ф)≤Y_расч(Х_ф)+25. С вероятностью 0.99 можно утверждать, что: Y_расч.(X_ф)-2,580≤ y(Х_ф)≤Y_расч(Х_ф)+2,5.

Коэффициент корреляции, вычисленный по выборочным данным, также не совпадает с коэффициентом  корреляции генеральной совокупности. Ошибка коэффициента корреляции определяется формулой: бr=(1-r₂)/ Ö(N-1). Как правило r₂ не известно, но при большем объеме выборки в качестве r₂ при вычислении ошибки можно использовать r_b: бr=(1-r_b)/ Ö(N-1). Таким образом если по выборочным данным расчитан коэффициент кореляции и его ошибка б, то с вероятностью 0.95 можно утвердить, что: r₂є[r_b-2б; r_b+2б] с вероятностью 0.99: r₂є[r_b-2.58б; r_b+2.58б]. Наиболее практический интерес представляет проверка нулевой гипотизы. Т.к. коэффициент корреляции r₂ не равен r_b, то не исключено, что даже если r₂=0, то r_b не равно 0. Проверим значимость  r_b: выдвенем нулевую гипотезу r₂=0, и определим может ли полученное значение  r_b быть обусловлено случайными колебаниями или оно слишком велико для такого предположения; т.к r₂=0, то ошибка б₂=1/ Ö(N-1); при нормальном распределении отклонения r2 от rb с вероятностью 0.95 можно утверждать, что: rbє[-2б₂; 2б₂]. Если вычесленный коэффициент корреляции, выходит за пределы, то гипотезу следует отвергнуть, значит существует связь меду признаками генеральной совокупности. Рассмотренная методика проверки значимости и определение доверительных интервалов проста, но применима лишь в случае нормально распределенных отклонений и большого объема выборки. Существуют более общие методы оценки значимости, основанные на дисперсионном анализе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Модели множественной корреляции.

Величина исследуемого показателя особенно в экономике зависит от многих различных факторов. Для измерения совместимости влияния ряда факторов на величину анализируемого показателя строятся модели множественной корреляции, в них зависимая прямая у рассматривается как функция нескольких переменных. у=f(x₁,x₂,…,x_n). Как и в парной корреляции важным является форма связи. В многофакторных моделях выбор уравнения регрессии сложная задача, т.к. действия различных факторов переплетаются и отсутствует возможность графического контроля. Еще большее значение приобретает начальный анализ характера связи каждого из показателей с зависимым показателем у, если связь линейная, то в качестве уравнения регрессии выступает зависимость: y=a₀+a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n. Связь может включать переменные в более высоких степенях: y=a₀+a₁x₁+a₂x₂²+a₃x₁x₂+… . Часто используется линейно логарифмическая функция:

logy=a₀+a₁logx₁+a₂logx₂+…+a_nlogx_n или y=a₀x₁^a1*x₂^a2…x_n^an . Не исключено что в этих моделях могут использоваться более сложные математические функции, но это редко, т.к. сложная функция экономики трудно истолковывается и вычисление параметра этой функции становится трудным даже с использованием ЭВМ. Метод наименьших квадратов дает единую методику для составления нормальных уравнений для определения параметров связи. Составим систему нормальных уравнений для расчёта двухфакторной линейной зависимости:

y=a₀+a₁x₁+a₂x₂;   S(a₀,a₁,a₂)=∑ⁿ_i=1(y_i-y_расч)²=∑ⁿ_i=1 (y_i-a₀-a₁x_1i-a₂x_2i)². a₀,a₁,a₂  S→min

∂S/∂a₀=(∂/∂a₀) ⁿ∑_i=1 ( )=ⁿ∑_i=1(y_i-a₀-a₁x_1i-a₂x_2i)²=∑2(y_i-a₀-a₁x_1i-a₂x_2i)(-1)=0.   na₀+a₁ⁿ∑_i=1x_1i-a₂ⁿ∑_i=1x_2i=ⁿ∑_i=1y_i .     ⁿ∑_i=12(y_i-a₀-a₁x_1i-a₂x_2i)(-x_1i).

ⁿ∑_i=12(y_i-a₀-a₁x_1i-a₂x_2i)(-x_1i)=0 =>

=> ⁿ∑_i=1yix1i- ⁿ∑_i=1a0x1i- ⁿ∑_i=1a₁x_1i²- ⁿ∑_i=1a₂x_2ix_1i=0.        a₀ ⁿ∑_i=1x_1i+a₁ ⁿ∑_i=1x_1i²+a₂ ⁿ∑_i=1x_1ix_2i= ⁿ∑_i=1y_ix_1i .

∂S/∂a₂=(∂/∂a₂) ⁿ∑_i=1 ( )=ⁿ∑_i=1(-2)(y_i-a₀-a₁x_1i-a₂x_2i)x_2i=0.

ⁿ∑_i=1 (y_ix_2i-a₀x_2i-a₁x_1ix_2i-a₂x_2i²)=0. ∑y_ix_2i-a₀∑x_2i-a₁∑x_1ix_2i-a₂∑x_2i=0.

a₀∑x_2i+a₁∑x₁x₂+a₂∑x_2i²=∑y_ix_2i.

Надёжность оценок исследуемого показателя получаемых по уравнению  корреляции будет тем выше чем  меньше рассеяние факторных данных по отношению к значениям показателя, вычисляемым по уравнению связи. Мера надёжности – средне квадратическая ошибка уравнения множественной линейной регрессии: Sy(x₁x₂…x_n)=√∑(y_фак-y_расч)²/N-K , здесь N- число наблюдений, К- число параметров в уравнении регрессии. Если уравнение связи вычислено по выборочным данным, то зная среднее квадратичное отклонение Sy(x₁x₂…x_n) можно указать интервал, в который с заданной вероятностью попадут истинные значения исследуемого показателя: σ =Sy(x₁x₂…x_n).

Урасч Є[у_расч–σ, у_расч+σ]0,68     ;   Уфакт Є[у_расч–2σ, у_расч+2σ]0,95     ;   Уфакт Є[у_расч–2,58σ, у_расч+2,58σ]0,99.       Отвлечённой мерой тесноты связи между включаемыми в модель показателями  - факторами и зависимым показателем является коэффициент множественной корреляции: (√S²_y-S²_y(x₁x₂…x_n)/S²_y)=Ry(x₁x₂…x_n). Коэффициент множественной корреляции характеризует тесноту связи между признаками x₁x₂…x_n и У, он характеризует силу совместного воздействия признаков x₁x₂…x_n на результирующий признак У. Коэффициент R принимает значение от 0 до 1 и знака не имеет, т.к. одни факторы могу влиять в прямом направлении, а другие в другом. Представляет интерес измерение степени влияния каждого отдельного фактора на результирующий показатель. Понятие частной корреляции: предположим, что при исследовании зависимости был учтён сначала 1 фактор и получено уравнение парной регрессии: y=a₀+a₁x₁, далее был вовлечён в исследование 2 фактор, действующий на зависимую переменную у, и получено уравнение: y=a₀^|+a₁^|x₁+a₂x₂, требуется установить в какой степени введение 2 повысило точность оценки зависимой переменной У, получаемой по уравнению множественной регрессии: (√(S²_y(x1)-S²_y(x1x2))/ S²_y(x1))=r_y(x₂)x₁. Коэффициент r_y(x₂)x₁ характеризует тесноту связи между независимой переменной x₂ и зависимой переменной у при уже учтенном влиянии 1-ого фактора (част. корреляция называется чистой корреляцией). Связь между переменной переменными х₂ и у могла бы охарактеризована обыч. коэффициентом парной корреляции. Если найти уравнение связи между у и х₂ по выборочным данным без учёта независимой переменной х₁ и определить среднеквадратическую ошибку S²_yx₂ по уравнению прямой регрессии без учета х₁, то то коэффициент парной корреляции по формуле: r_y(x₂)=(√(S²y(x₂)-S²_y)/S²_y) между r_y(x₂) и r_y(x₂)х₁ имеются существенные различия: коэффициент r_y(x₂) учитывает влияние х₂ на у, при этом х₁ вообще не учитывается, изменчивость переменной у приписывается изменчивость переменной х₂. Коэффициент тж. характеризует влияние х₂ на у, но при этом в модели учитывается переменная х₁, при анализе частной корреляции со вторым фактором, 1 фактор остаётся неизменным и не может исказить характер изменения у в зависимости от колебаний переменной х₂. Аналогично вводится понятие частной корреляции между у и х₁ при неизменной величине х₂. Коэффициент частной корреляции r_y(x₁)x₂:    r_y(x₁)x₂=(√S²_y(x₂)-S²_y(x₁x₂)/S²_y(x₁)). В общем случае, когда в модель включено n-независимое факторов, коэффициент частной корреляции определяется по формуле: ry(x₁)x₂x₃…x_n=(√S²_y(x₂x₃…x_n)-S2y(x₁x₂…x_n)/ S2y(x₁x₂…x_n))

 

 

 

 

 

 

9. К вопросу  о включении в модель факторов.

Разработка моделей  требует всестороннего анализа о включении в корреляционную модель влияющих / воздействующих на исследуемый показатель. Стремление учесть побольше факторов редко оправдывается, модели получаются громоздкие, влияние большинства факторов несущественно => с самого начала в корреляционную модель должны отбираться факторы, оказывающие наиболее сильное влияние на показатель. На 1-ом этапе такой отбор осуществляется методами качественного анализа, добавляются простым сопоставлением имеющегося количества данных. После определения компонентов модели правильность отбора факторов определяется математическими расчётами. Методы дисперсионного анализа позволяют проверять значимость каждого коэффициента регрессии в отдельности.

10. Общее замечание  по поводу применения корреляционной модели.

По уровню связи оценивают  величину переменной для каждой единицы  качественно однородной с исходящими единицами. Если известны значения переменной. 2 случая различают: 1)величина нашей  первой принадлежит интервалу, в  котором изменяются имеющиеся исходные данные; 2)находящаяся вне этих пределов. В 1-ом случае производится интерполяция: надёжность оценки по уравнению связи определяется, напр., средним квадратическим отклонением; во 2-лм случае производится экстрополяция: к оценкам, получаемым по уравнению связи, относятся с осторожностью. За пределами вариации данных, которые используются для построения корреляционной модели, могут действовать закономерности, которые изменяют направления и характеризуют линии регрессии.

11. Применение  дисперсионного анализа в экономических исследованиях.

В теории вероятностей математической статистики рассматривалось задание  сравнения математического ожидания 2-х совокупностей. На практику часто  возникают задачи более общего характера  – задачи проверки существенности различий средних выборочных нескольких и > совокупностей. Например, требуется оценить влияние различного сырья на качество производимой продукции, решить задание о влиянии количества удобрений на урожайность с/х продукции. Математически мы приходим к следующей обобщённой задаче. Пусть имеется х₁х₂…х_р генеральных совокупностей, они распределены по нормальному закону с одинаковыми дисперсиями Д₁=Д₂+…=Д_р=Д, они неизвестны; одинаковыми математическими ожиданиями М(х₁) М(х₂) … М(х_р) они могут отличатся. Уровень значимости α задан, при нём проверить гипотезу Но: М(х₁)= М(х₂)=…= М(х_р), т.е. значимо ли различие выборочных средних. Проверить гипотезу по выборочным данным. Для сравнения выборочных средних ˉх₁, ˉх₂,…, ˉх_р достаточно сравнить их попарно, но с ростом р числа растёт и различие между выборочными средними, поэтому применяется другой метод, который называется методом дисперсионного анализа, основанный на сравнении дисперсии. МДА – статистический метод, предназначенный для оценки влияния различных факторов на результат эксперимента (Фишер 1918г.). По числу факторов, влияние которых изучается, различают одно и многофакторный дисперсионный анализ. На практике ДА используется для того чтобы установить оказывает ли существенное влияние некоторый качественный фактор F, имеющий р уравнений F₁,F₂,…,F_p на изучаемую величину х.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12. Общая, факторная  и остаточная суммы отклонений.

Пусть на количественный признак х (нормально распределённый) воздействует F, имеющий р постоянных уравнений F₁,F₂,…,F_p, предположим, что на каждом уровне число наблюдений одинаково u=q. Пусть наблюдаемость n=pq, признака x_ij  i-номер испытаний j-номер уровней. Введём обозначения ; ;

	F1	F2	…	Fp
1	X11	X12	…	X1p
2	X21	X22	…	X2p
…	…	…	…	…
Q	Xq1	Xq2	…	Xqp
Группов. ср.

  ; ; S_факт=q∑(xx_ipq )2;

S_ост=^q∑_i=1(x_i1- _гр1)²+ ^q∑_i=1(x_i2- _гр2) ²+ ^q∑_i=1(x_ip- _грp) ²;

Факторная сумма –  сумма квадратов отклонений групповых  средних от общей средней. Факторная  сумма характеризует рассеяние  между группами.

S остат харак-ет расстояние внутри группы. На практике S остат. Находиться по формуле: S остат. = S общая. - S фактор. Путем преобразований получаем более удобные формулы:

S_факт=((^p∑_j=1R_j²)/q)-(^p∑_j=1R_j/pq)² ; Sобщ=^p∑_j=1P_j-(^p∑_j=1R_j/pq)²  ;

P_j= ^q∑_i=1x_ij² – сумма квадратов на уровне j ;

R_j= ^q∑_i=1x_ij

13. Общая, факторная  и остаточная дисперсии.

В дисперсионно анализе, анализируются не суммы кв-тов  отклонений, а суммы, деленые на соответствующее  число степеней свободы, оно явл. несмещенными оценками для соответствующей  дисперсии. Число степеней свободы  – число кв-тов в å минус число связ-щих их уравнений. Для факторной å число степени свободы = Р-1. Для S остаточных, число степ. Свободы = P(q-1). Для S общей, число степеней свободы = n-1 следовательно p(q-1). Можно показать, что: S²факт=Sфакт/р-1;  S²остат=Sостат/р(q-1);  S²общ=Sобщ/р(q-1). Диссперсия остат. И факторн. Независимы и являются независимыми и несмещ-ми. Оценками для одной и той же дисперсии s².  Факторн. И остат. Дисперсии независимы друг от друга, обе они явл. несмещенными оценками одной и той же дисперсии s², следовательно, проверка  нулевой гипотезы Мо: М(х1)=М(х2)=… о равенстве мат. Ожиданий по ген. Сов-ти свелась к проверке существенности различия несмещенных выборочных оценок S²факт  и S²остат. Проверка осуществляется с пом. F статистикой F= S²факт/ S²остат. Гипотеза отвергается, если фактически вычисленное значение статистики Fнабл>Fкрит.=Fa,ν, ν 2; которое определяется числом степеней свободы и уровнем значимости a. F критическое находиться по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора. Гипотеза принимается, если Fнабл<Fкритич-го. Опровержение нулевой гипотезы означает наличие сущест. различий в зависимости от уровня фактора. Чтобы установить какую долю дисперсии объясняет зависимость пр-ка х от фактора опр-ют коэф-т детерминации: Kg=отношение фактор-й вариации к общей вариации. Т.к. Fнабл>Fкрит. То гипотеза о равенстве выборочн-х средних отверг-ся; уст-на  сущест-ть различия выборочных средних. Если оказ-сь, что фактор-я дисперсия<остат., то следовательно,  справедливость гипотезы о равенстве групповых средних и нет необходимости прибегать к таблице. Вычислим остат., фактор. суммы по упращенным формулам.