Автор: Пользователь скрыл имя, 21 Декабря 2010 в 22:31, курсовая работа
Уже в школьном курсе математики изучаются формулы Виета для уравнений второй степени от одной переменной, решаются уравнения и системы уравнений, содержащих многочлены. Задачи такого типа встречаются в заданиях ЕГЭ и централизованного тестирования, например, задачи по составлению уравнений по их корням.
Целью курсовой работы является изучение теории симметрических многочленов.
1.Введение………………………………………………………стр 3
2.Основные определения………………………………………стр 4
3.Кольцо симметрических многочленов……………………...стр 5
4.Основная теорема о симметрических многочленах………..стр 6
5.Метод неопределенных коэффициентов……………………стр 9
6.Дискриминант многочлена…………………………………..стр 11
7.Результант…………………………………………………….стр 13
8.Список литературы…………………………………………..стр 14
где - элементарные симметрические многочлены. По предположению индукции алгебраически независимы над А. В то же время .Получили противоречие.
▀
Следствие. Пусть - многочлен степени n от одной переменной Х над полем Р, имеющий n корней в некотором поле F P. Пусть далее
- произвольный симметрический многочлен из . Тогда его значение получающееся при подстановке вместо , i=1,…,n, будет принадлежать полю Р
Доказательство
По Т.1. существует многочлен , такой что
.Поэтому
.В соответсвии
с формулами Виета
то и
▀
5.
Метод неопределенных
коэффициентов
Введем новый
тип симметрических многочленов. Для
определенности будем брать в качестве
А кольцо Z. Пусть
- какой-то одночлен.
Будем называть
монотонным
одночленом если
. Обозначим S(v)
сумму всех разных одночленов в семействе
n! Одночленов вида
.
Иначе говоря:
Где означает, что пробегает множество множество представителей левых смежных классов группы .Ясно что S(v) – однородный симметрический многочлен той же степени что и v. Так как то естественно будет рассматривать лишь суммы S(v) c монотонными одночленами v.
Любой симметрический многочлен f над А является линейно комбинацией с коэффициентами из А многочленов типа S(v)
Будем располагать многочлены лексиграфически (по принципу построения словаря). Высшим членом суммы S(v) будет v.
Для монотонного одночлена мы имеем право рассмотреть произведение
в котором высшим членом будет опять-таки
Отсюда вытекает что высший член разности будет ниже, чем v значит,
где а суммирование идет по множеству монотонных одночленов <v. Полные степени v и всех совпадают.
Пусть deg v=m. Берутся все монотонные разбиения
Целого числа m такие, что . Рассматривается множество всех таких одночленов .Для каждого составляется одночлен (см. (5)) . Мы уже знаем, что
где
- какие-то
целые числа. Неопределенные коэффициенты
(отсюда и
название: метод неопределенных
коэффициентов) находятся путем последовательных
подстановок в (6) вместо
каких-нибудь
целых чисел, чаще всего 0 и 1.
6.
Дискриминант многочлена
Рассмотрим в
кольце
многочлен
Который можно
представить в виде определителя
Вандермонда
Так как определитель является кососимметричной функцией своих столбцов, то - знак перестановки . Но в таком случае - симметрический многочлен и по основной теореме его можно выразить в виде многочлена от элементарных симметрических функций
Многочлен dis от называется дискриминантом семейства . Его коэффициенты, очевидно, лежат в Z.
Мы можем представить в виде ..Действуя по правилу умножения матриц находим
где - степенные суммы. Вычислив по формулам (I) и (II) выразим . В частности , , так что
Определение.
Дискриминант семейства корней
многочлена f,
или, что равносильно, значение дискриминанта
получающееся
при подстановке
вместо
,
Называется
дискриминантом многочлена f и обозначается
D(f). Также он называется дискриминантом
алгебраического уравнения
Предложение.
D(f)=0 тогда и только тогда, когда уравнение
(7) имеет кратные корни (хотя бы один кратный
корень кратности k>1). ▀
7.
Результант
Определение. Результантом Res(f, g) многочленов f и g называется однородный многочлен (однородная полиномиальная функция) от их коэффициентов (степени m относительно и степени n относительно ) вида
Свойства результанта
Тогда
7.
Список литературы