События. Основные теоремы теории вероятностей

 «События. Основные теоремы теории вероятностей»

Вариант 7

Данные:

№ в.	l1	l2	l3	l4	l5	l6	l7	l8	l9	l10	l11	l12	l13	l14	l15	l16	l17	l18	l19	l20
7	5	4	3	4	4	9	3	6	4	7	1	2	12	7	0,5	760	0,65	495	282	0,0016

 

Задача 1. Подбрасывают две игральные кости. Найти вероятность того, что:

а) сумма числа очков не превосходит  5;

б) произведение числа очков  не превосходит 5.

 

Решение. Введем событие = (Сумма числа очков на обеих костях не превосходит 5).

Найдем вероятность события  по классическому определению вероятности:  , где m – число исходов, благоприятствующих осуществлению события , а n – число всех элементарных равновозможных исходов.  Составим таблицу всех возможных комбинаций очков при броске двух костей и соответствующих сумм:

 

1-ая кость / 2-ая кость	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

 

Получаем: - всего различных комбинаций при броске костей (на первой кости выпадает одно из шести чисел и на второй кости выпадает одно из шести чисел).   - количество комбинаций, в которых сумма не более 5 (см. выделенные красным числа в таблице). Таким образом, искомая вероятность

 

Введем событие  = (Произведение очков на обеих костях не превосходит 5). Найдем вероятность события по классическому определению вероятности:  , где m – число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n – число всех элементарных равновозможных исходов.  Составим таблицу всех возможных комбинаций очков при броске двух костей и соответствующих произведений:

 

1-ая кость / 2-ая кость	1	2	3	4	5	6
1	1	2	3	4	5	6
2	2	4	6	8	10	12
3	3	6	9	12	15	18
4	4	8	12	16	20	24
5	5	10	15	20	25	30
6	6	12	18	24	30	36

 

Получаем: - всего различных комбинаций при броске костей (на первой кости выпадает одно из шести чисел и на второй кости выпадает одно из шести чисел).   - количество комбинаций, в которых произведение очков не более 5 (см. выделенные красным числа в таблице). Таким образом, искомая вероятность

 

Ответ: 0,278, 0,278.

 

 

 

Задача 2. Малое предприятие в текущем месяце изготовило 4 изделия первого сорта, 3 изделия второго сорта,  4 изделия третьего сорта. На ярмарку случайным образом отбирают 5 изделий. Найти вероятность того, что

а) ни одного изделия первого сорта не попадет на ярмарку;

б) хотя бы одно изделие первого сорта попадет на ярмарку;

в) на ярмарку попадут 2 изделия  первого сорта и одно второго.

 

Решение. Используем классическое определение вероятности: , где m – число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n – число всех элементарных равновозможных исходов.

 

 

- число различных способов  отобрать 5 любых изделий на ярмарку  из имеющихся 4+3+4=11 изделий. 

 

 

Событие = (ни одного изделия первого сорта не попадет на ярмарку) = (5 отобранных изделий будут второго или третьего сорта). Получаем:

- число различных способов  отобрать 5 изделий второго или  третьего сорта из 4+3=7 изделий таких сортов.

Тогда .

 

Событие = (хотя бы одно изделие первого сорта попадет на ярмарку). Это событие противоположно событию , поэтому вероятность можно найти следующим образом:

 

Событие = (на ярмарку попадут 2 изделия первого сорта и одно второго) = (на ярмарку попадут 2 изделия первого сорта, 1 второго сорта и 2 третьего сорта). Число способов выбрать так изделия будет:

.

Вероятность .

 

Ответ: 0,045, 0,955, 0,234.

Задача 3.  В урне имеется 9 белых шаров и 6 черных. Наудачу последовательно без возвращения извлекают по одному шару до появления черного. Найти вероятность того, что придется производить четвертое извлечение.

 

Решение. Введем событие = (придется производить четвертое извлечение) = (Первые три выбранные шара были белые).

Вероятность выбрать первый белый  шар равна  (всего шаров 15, из них 9 белых).

Вероятность выбрать второй белый  шар равна  (всего шаров осталось 14, из них 8 белых).

Вероятность выбрать третий белый  шар равна  (всего шаров 13, из них 7 белых).

 

Тогда вероятность искомого события  равна:

 

Ответ: 0,185.

 

 

 

Задача 4. В продажу поступает однотипная продукция с трех заводов. Брак соответственно составляет  1%, 2%, 12%. Первый завод поставляет 40% продукции, второй – 25%, третий – 35%. Наудачу извлекают одно изделие.

1) Какова вероятность приобрести  бракованное изделие.

2) Каким заводом вероятнее всего  произведено приобретенное доброкачественное изделие.

 

Решение. Введем полную группу гипотез:

= (Продукция поступила с -ого завода), . Выпишем вероятности гипотез:

,

,

.

 

Введем событие  =  (Изделие доброкачественное). По условию известны вероятности _, 

_,

.

 

Вероятность события  найдем по формуле полной вероятности:

 

Тогда вероятность приобрести бракованное  изделие равна 

 

Найдем, каким заводом вероятнее всего произведено приобретенное доброкачественное изделие. Используем формулу Байеса:

Вычисляем:

Изделие произведено первым заводом (вероятность наибольшая из трех).

 

Ответ: 0,051; первым заводом.

 

 

 

Задача 5. На контроль качества поступила партия из  n = 7 деталей. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,5.

а) найти вероятности  того, что число бракованных деталей k в партии составляет 0, 1, …, 7;

б) построить ломаную линию с вершинами в токах ;

в) найти наивероятнейшее число  бракованных деталей двумя способами: непосредственно по определению и по формуле.

 

 

Решение. Введем дискретную случайную величину  = (Число бракованных деталей в партии из 7 деталей). Х распределена по биномиальному закону с параметрами и . Х может принимать значения {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, причем соответствующие вероятности будем считать по формуле Бернулли:

.

 

Получаем:

 

Закон распределения случайной  величины  :

 

 

 

	0	1	2	3	4	5	6	7
	0,0078	0,0547	0,1641	0,2734	0,2734	0,1641	0,0547	0,0078

 

Построим ломаную линию с вершинами в токах (многоугольник распределения):

 

Найдем наивероятнейшее число бракованных деталей двумя способами: непосредственно по определению и по формуле.

 

По определению: выбираем из таблицы  распределения значение с наибольшей вероятностью. Их будет два с одинаковой вероятностью 0,2734: 3 и 4 детали.

 

Используем формулу: . Подставляем наши данные:

Отсюда  или .

 

 

 

Задача 6. На базе хранится 760 ед. продукции. Вероятность того, что она не испортится, равна 0,65. Найти вероятность того, что:

а) не испортится  495 ед. продукции;

б) количество испорченных изделий  будет меньше 282;

в) относительная частота события, состоящего в том, что продукция  не испортится, отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0,01.

 

 

Решение. Имеем схему Бернулли с параметрами - количество продукции на складе, - вероятность того, что продукция не испортится, . Так как достаточно велико, будем использовать приближенные формулы Муавра-Лапласа.

 

А) Вероятность того, что не испортится  495 ед. продукции. Используем локальную формулу Муавра-Лапласа: ,  значения функции берутся из таблицы. Подставляем:

 

Б) Вероятность того, что количество испорченных изделий будет меньше 282, то есть количество неиспорченных изделий будет от 478 и больше. Используем интегральную теорему Лапласа:

, где  Ф – функция Лапласа  (значения берутся из таблиц). Подставляем:

 

В) Вероятность того, что относительная частота события, состоящего в том, что продукция не испортится, отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0,01.

Используем формулу: , где (отклонение).

Подставляем все:

 

Ответ: а) 0,03, б) 0,8888, в) 0,438.