Сущность дисперсионного анализа

       В 1970-х годах эти задачи решались с использованием разнообразных  методов, которые, если оценить их с  современных позиций, были неадекватны  по нескольким причинам. Чтобы описать  динамику отдельного ряда, достаточно было просто использовать одномерные модели временных рядов, а чтобы описать совместную динамику двух рядов – спектральный анализ. Однако отсутствовал общепринятый язык, пригодный для систематического описания совместных динамических свойств нескольких временных рядов. Экономические прогнозы делались либо с использованием упрощенных моделей авторегрессии — скользящего среднего (ARMA), либо с использованием популярных в то время больших структурных эконометрических моделей. Структурный вывод основывался либо на малых моделях с одним уравнением, либо на больших моделях, идентификация в которых достигалась за счет плохо обоснованных исключающих ограничений, и которые обычно не включали ожидания. Анализ политики на основе структурных моделей зависел от этих идентифицирующих предположений.

       Наконец, рост цен в 1970-е годы рассматривался многими как серьезная неудача  больших моделей, которые в то время использовались для выработки  политических рекомендаций. То есть это  было подходящее время для появления  новой макроэконометрической конструкции, которая могла бы решить эти многочисленные проблемы.

       В 1980 году была создана такая конструкция  – векторные авторегрессии (VAR). На первый взгляд, VAR – не более, чем  обобщение одномерной авторегрессии  на многомерный случай, и каждое уравнение в VAR – не более, чем обычная регрессия по методу наименьших квадратов одной переменной на запаздывающие значения себя и других переменных в VAR. Но этот вроде бы простой инструмент дал возможность систематически и внутренне согласованно уловить богатую динамику многомерных временных рядов, а статистический инструментарий, который сопутствует VAR, оказался удобным и, что очень важно, его было легко интерпретировать.

       Выделяют  три различных VAR-модели:

       - приведенная форма VAR;

       - рекурсивная VAR;

       - структурная VAR.

       Все три являются динамическими линейными  моделями, которые связывают текущие  и прошлые значения вектора Y_t n-мерного временного ряда. Приведенная форма и рекурсивные VAR – это статистические модели, которые не используют никакие экономические соображения за исключением выбора переменных. Эти VAR используются для описания данных и прогноза. Структурная VAR включает ограничения, полученные из макроэкономической теории, и эта VAR используется для структурного вывода и анализа политики.

       Приведенная форма VAR выражает Y_t в виде распределенного лага прошлых значений плюс серийно некоррелированный член ошибки, то есть обобщает одномерную авторегрессию на случай векторов. Математически приведенная форма модели VAR – это система n уравнений, которые можно записать в матричной форме следующим образом: 

                                                                         (17)

       где a - это n´ l вектор констант;

           A₁, A₂, ..., A_p – это n´ n матрицы коэффициентов;

           e_t, - это n´l вектор серийно некоррелированных ошибок, о которых предполагается, что они имеют среднее ноль и матрицу ковариаций .

       Ошибки e_t, в (17) – это неожиданная динамика в Y_t, остающаяся после учета линейного распределенного лага прошлых значений.

       Оценить параметры приведенной формы VAR легко. Каждое из уравнений содержит одни и те же регрессоры (Y_t–1,...,Y_t–p), и нет взаимных ограничений между уравнениями. Таким образом, эффективная оценка (метод максимального правдоподобия с полной информацией) упрощается до обычного МНК, примененного к каждому из уравнений. Матрицу ковариаций ошибок можно состоятельно оценить выборочной ковариационной матрицей полученных из МНК остатков.

       Единственная  тонкость – определить длину лага p, но это можно сделать, используя информационный критерий, такой как AIC или BIC.

       На  уровне матричных уравнений рекурсивная  и структурная VAR выглядят одинаково. Эти две модели VAR учитывают в  явном виде одновременные взаимодействия между элементами Y_t, что сводится к добавлению одновременного члена к правой части уравнения (17). Соответственно, рекурсивная и структурная VAR обе представляются в следующем общем виде: 

                                                              (18)

       где b - вектор констант;

           B₀,..., B_p - матрицы;

           h_t — ошибки.

       Наличие в уравнении матрицы B₀ означает возможность одновременного взаимодействия между n переменными; то есть B₀ позволяет сделать так, чтобы эти переменные, относящиеся к одному моменту времени, определялись совместно.

       Рекурсивную VAR можно оценить двумя способами. Рекурсивная структура дает набор  рекурсивных уравнений, которые  можно оценить с помощью МНК. Эквивалентный способ оценивания заключается  в том, что уравнения приведенной  формы (17), рассматриваемые как система, умножаются слева на нижнюю треугольную матрицу.

       Метод оценивания структурной VAR зависит  от того, как именно идентифицирована B₀. Подход с частичной информацией влечет использование методов оценивания для отдельного уравнения, таких как двухшаговый метод наименьших квадратов. Подход с полной информацией влечет использование методов оценивания для нескольких уравнений, таких как трехшаговый метод наименьших квадратов.

       Необходимо  помнить о множественности различных  типов VAR. Приведенная форма VAR единственна. Данному порядку переменных в Y_t соответствует единственная рекурсивная VAR, но всего имеется n! таких порядков, т.е. n! различных рекурсивных VAR. Количество структурных VAR – то есть наборов предположений, которые идентифицируют одновременные взаимосвязи между переменными, - ограничено только изобретательностью исследователя.

       Поскольку матрицы оцененных коэффициентов VAR затруднительно интерпретировать непосредственно, результаты оценивания VAR обычно представляют некоторыми функциями этих матриц. К таким статистикам разложения ошибки прогноза.

       Разложения  дисперсии ошибки прогноза вычисляются  в основном для рекурсивных или  структурных систем. Такое разложение дисперсии показывает, насколько  ошибка в j-м уравнении важна для  объяснения неожиданных изменений i-й переменной. Когда ошибки VAR некоррелированы по уравнениям, дисперсию ошибки прогноза на h периодов вперед можно записать как сумму компонентов, являющихся результатом каждой из этих ошибок. 
 

                                          Факторный анализ 
 

       В современной статистике под факторным  анализом понимают совокупность методов, которые на основе реально существующих связей признаков (или объектов) позволяют  выявлять латентные обобщающие характеристики организационной структуры и  механизма развития изучаемых явлений и процессов.

       Понятие латентности в определении ключевое. Оно означает неявность характеристик, раскрываемых при помощи методов  факторного анализа. Вначале имеется  дело с набором элементарных признаков X_j, их взаимодействие предполагает наличие определенных причин, особенных условий, т.е. существование некоторых скрытых факторов. Последние устанавливаются в результате обобщения элементарных признаков и выступают как интегрированные характеристики, или признаки, но более высокого уровня. Естественно, что коррелировать могут не только тривиальные признаки X_j, но и сами наблюдаемые объекты N_i поэтому поиск латентных факторов теоретически возможен как по признаковым, так и по объектным данным.

       Если  объекты характеризуются достаточно большим числом элементарных признаков (m > 3), то логично и другое предположение - о существовании плотных скоплений точек (признаков) в пространстве n объектов. При этом новые оси обобщают уже не признаки X_j, а объекты n_i, соответственно и латентные факторы F_r будут распознаны по составу наблюдаемых объектов:  

       F_r = c₁n₁ + c₂n_{2 + ... +} c_Nn_N,

       где c_i - вес объекта n_i в факторе F_r. 

       В зависимости от того, какой из рассмотренных  выше тип корреляционной связи - элементарных признаков или наблюдаемых объектов - исследуется в факторном анализе, различают R и Q - технические приемы обработки данных.

       Название R-техники носит объемный анализ данных по m признакам, в результате него  получают  r  линейных  комбинаций  (групп) признаков: F_r=f(X_j), (r=1..m). Анализ по данным о близости (связи) n наблюдаемых объектов называется Q-техникой и позволяет определять r линейных комбинаций (групп) объектов: F=f(n_i), (i = l .. N).

       В  настоящее  время на практике более 90% задач решается при помощи R-техники.

       Набор методов факторного анализа в настоящее время достаточно велик, насчитывает десятки различных подходов и приемов обработки данных. Чтобы в исследованиях ориентироваться на правильный выбор методов, необходимо представлять их особенности. Разделим все методы факторного анализа на несколько классификационных групп:

       - Метод главных компонент. Строго  говоря, его не относят к факторному  анализу, хотя он имеет с  ним много общего. Специфическим  является, во-первых, то, что в ходе  вычислительных процедур одновременно  получают все главные компоненты  и  их число первоначально равно числу элементарных признаков. Во-вторых, постулируется возможность полного разложения дисперсии элементарных признаков, другими словами, ее полное объяснение через латентные факторы (обобщенные признаки).

       - Методы факторного анализа. Дисперсия элементарных признаков здесь объясняется не в полном объеме, признается, что часть дисперсии остается нераспознанной как характерность. Факторы обычно выделяются последовательно: первый, объясняющий наибольшую долю вариации элементарных признаков, затем второй, объясняющий меньшую, вторую после первого латентного фактора часть дисперсии, третий и т.д. Процесс выделения факторов может быть прерван на любом шаге, если принято решение о достаточности доли объясненной дисперсии элементарных признаков или с учетом интерпретируемости латентных факторов.

       Методы  факторного анализа целесообразно  разделить дополнительно на два  класса: упрощенные и современные  аппроксимирующие методы. 
Простые методы факторного анализа в основном связаны с начальными теоретическими разработками. Они имеют ограниченные возможности в выделении латентных факторов и аппроксимации факторных решений. К ним относятся:

       - однофакторная модель. Она позволяет  выделить только один генеральный  латентный и один характерный факторы. Для возможно существующих других латентных факторов делается предположение об их незначимости;

       - бифакторная модель. Допускает влияние  на вариацию элементарных признаков  не одного, а нескольких латентных  факторов (обычно двух) и одного  характерного фактора;

       - центроидный метод. В нем корреляции  между переменными рассматриваются  как пучок векторов, а латентный  фактор геометрически представляется  как уравновешивающий вектор, проходящий  через центр этого пучка. : Метод  позволяет выделять несколько латентных и характерные факторы, впервые появляется возможность соотносить факторное решение с исходными данными, т.е. в простейшем виде решать задачу аппроксимации.

       Современные аппроксимирующие методы часто предполагают, что первое, приближенное решение уже найдено каким либо из способов, последующими шагами это решение оптимизируется. Методы отличаются сложностью вычислений. К этим методам относятся:

       - групповой метод. Решение базируется  на предварительно отобранных  каким-либо образом группах элементарных признаков;

       - метод главных факторов. Наиболее  близок методу главных компонент,  отличие заключается в предположении  о существовании характерностей;