Связи между математикой и естественнонаучными дисциплинами

Вопрос о связи между  математикой и естественнонаучными  дисциплинами веками ставил в затруднение  философов и историков науки.

 

Вряд ли стоит сомневаться  в том, что источником многих математических понятий и теорий послужил «внешний мир». Но однажды постигнутые, эти  понятия и теории начинали развиваться  совершенно независимо. Они поднимались  к высотам абстракции, освобождаясь от пут своего конкретного (даже «низменного») происхождения. В процессе этой эволюции чисто интроспективным путём  рождались новые понятия и  теории, которые в свою очередь  чудодейственным образом оказывали  решающее влияние на ход научного прогресса уже за пределами собственно математики.

 

Рассмотрим в качестве примера геометрию. Она возникла из опыта древних землемеров и  астрономов и на своём первом великом  этапе развития достигла кульминации  в «Элементах» Евклида, которые  веками служили непреложным образцом логической строгости и совершенства.

 

Оторвавшись от внешнего мира, из которого она возникла, геометрия  продолжала развиваться, питаясь своими собственными проблемами. Среди них  была и проблема пятого постулата  — столь же неуловимая, сколь  и привлекательная.

 

Как мы видели в гл. 2, задача была чисто логической: можно ли вывести указанную аксиому (постулат) из остальных аксиом евклидовой геометрии.

 

Бойаи и Лобачевский первыми дали отрицательных ответ на этот вопрос, построив систему геометрических предложений (включающую отрицание пятого постулата), которые находились в таком взаимно однозначном соответствии с их евклидовыми аналогами, что противоречие в одной из этих систем немедленно повлекло бы за собой противоречие в другой.

 

Интересно отметить, что ни Бойаи, ни Лобачевский не имели отчётливого ощущения «реальности» своей геометрии. Лобачевский называл её «мнимой», а Бойаи взволнованно писал отцу: «... из ничего я создал новый и удивительный мир».

 

Лишь много лет спустя геометрия Бойаи–Лобачевского помогла Риману найти глубокий и открывающий новые перспективы подход к неевклидовым геометриям. Созданный в результате математический аппарат был положен в основание общей теории относительности Эйнштейна.

 

Этот пример с геометрией — вероятно, самая драматическая, но далеко не единственная иллюстрация  превращений, которые претерпевают математические понятия и идеи.

 

Исследуя, как остывает Земля, Фурье пришёл к проблеме представления  периодической функции в виде ряда, состоящего из синусов и косинусов:

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

1

 

2

 

a0 +

 

∑

 

(an cos 2πnx + bn sin 2πnx).

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

Та же проблема возникает  при попытке разложить сложное  периодическое колебание (например, звуковую волну, создаваемую музыкальным  инструментом) на простые «чистые  тоны» (синусоидальные колебания).

 

Эти задачи физики дали мощный толчок изучению рядов, подобных написанному  выше, что привело к созданию чисто  математической теории тригонометрических рядов.

 

По мере развития этой теории стало очевидно, что некоторые  её разделы совершенно не связаны  с синусоидальностью «чистых  тонов». В действительности большинство  результатов останутся верными, если появившиеся из физических соображений  синусы и косинусы заменить функциями  φn(x), подчинёнными единственному условию

 

1

 

∫

 

0

 

 

 

 

 φn(x) φm(x) dx =

 

ì

 

í

 

î

 

 

 

 

1,   m ≠ n,

 

0,   m = n.

 

 

 

 

Это условие является аналогом условия взаимной перпендикулярности векторов евклидова пространства (см. § 15 гл. 1) и требования, чтобы эти  векторы имели единичную длину. Итак, задача представления функции  в виде ряда

 

∞

 

 

 

 

∑

 

 cn φn (x)

 

n=1

 

 

 

 

стала аналогом задачи разложения вектора на взаимно перпендикулярные компоненты.

 

Эта и другие аналогии того же рода привели к появлению понятия  простейшего бесконечномерного  пространства — так называемого  гильбертова пространства. И снова  чудо: гильбертово пространство оказалось  подходящим «математическим каркасом»  квантовой механики.

 

Известно, что развитие математики, особенно в некоторые периоды, в  значительной мере определялось задачами физики и астрономии.

 

Так, исчисление бесконечно малых — самый крупный, по-видимому, шаг на пути эволюции математических понятий и методов — было развито  Ньютоном для решения задач динамики и, в частности, задач, возникающих  при изучении движения планет. Коронным достижением Ньютона был вывод  законов Кеплера 1) из закона всемирного тяготения.

 

Закон всемирного тяготения  утверждает, что два тела притягиваются  с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Постулированный  Ньютоном второй закон механики (сила пропорциональна массе, умноженной на ускорение) позволяет установить, что ускорение планеты обратно  пропорционально квадрату её расстояния от Солнца и направлено к Солнцу вдоль отрезка, соединяющего её с Солнцем. Поскольку ускорение есть вторая производная радиуса-вектора планеты, предыдущее заключение приводит к уравнению, связывающему вторую производную вектора с самим вектором. Такое уравнение называется дифференциальным, так как в него входит производная искомой функции от времени. Ньютон вывел и решил это уравнение, получив в качестве следствия все три закона Кеплера.

 

Трудно передать, какое  громадное воздействие оказало  это великое деяние Ньютона на развитие науки. Оно, несомненно, положило начало теоретической физике и дало образец использования математических понятий и представлений для  описания физических явлений.

 

Основных операций исчисления бесконечно малых — дифференцирования  и интегрирования — оказалось  вполне достаточно для того, чтобы  сформулировать все физические законы, открытые в XVIII и XIX веках. Теория упругости, гидродинамика, термодинамика и  великое достижение Максвелла —  теория электромагнитного поля —  всё это дань почти непостижимой многосторонности этого исчисления. Не удивительно поэтому, что анализ — раздел математики, выросший на почве  дифференциального и интегрального  исчисления, — стал поистине языком точных наук и превратил математиков  в полноправных участников битв за овладение тайнами природы.

 

В течение двух прошлых  столетий физика становилась всё  более математической, математика же, с одной стороны, всё сильнее  проникала в физику, а с другой, всё больше проникалась физическим духом. Многие крупные математики того времени были и ведущими физиками. Традиция тесного сотрудничества между  двумя этими науками продолжается и до наших дней, хотя его масштабы сильно сократились.

 

О том, сколь плодотворным и многообещающим являлось такое  сотрудничество, свидетельствует, например, предсказание электромагнитных волн и  создание электромагнитной теории света. К середине XIX века накопилось много  экспериментальных данных, касающихся электромагнитных явлений. На базе этих данных, сочетая строгую дедукцию с дерзким предвидением, Максвелл сумел прийти к системе дифференциальных уравнений, вобравших в себя всё, что было известно в то время об электричестве и магнетизме.

 

 

Незадолго до Максвелла стало  известно, что локальное возмущение в изотропной упругой среде (находившейся в состоянии покоя в начальный  момент времени) распространяется в  виде волн, причём это распространение  описывается волновым уравнением

 

 ∂ 2U

 

∂t2

 

= c2

 

(

 

 ∂ 2U

 

∂x2

 

+

 

 ∂ 2U

 

∂y2

 

+

 

 ∂ 2U

 

∂z2

 

)

 

,

 

 

где U(x, y, z, t) — отклонение от начального положения покоя в точке (x, y, z) в момент времени t. Здесь постоянная c — это скорость распространения волн в рассматриваемой среде.

 

Максвелл был поражён  тем фактом, что электрический  и магнитный векторы подчиняются  волновому уравнению, и пришёл к  выводу, что электромагнитные возмущения тоже распространяются в виде волн. Это великолепное теоретическое  предсказание блестяще подтвердилось  в 1886 г., когда Генрих Герц экспериментально получил электромагнитные волны. Поскольку  электромагнитные волны распространяются со скоростью света, Максвелл предположил, что свет является одной из форм электромагнитного излучения. Это предположение также полностью подтвердилось многочисленными экспериментами и дальнейшими теоретическими выводами. В результате было достигнуто более глубокое понимание природы света.

 

Пример максвелловской теории электромагнитного поля иллюстрирует и другое (в некотором смысле более тонкое) взаимодействие математических и физических идей. Оно связано с тем, что уравнения Максвелла, в отличие от законов Ньютона, не инвариантны относительно преобразований Галилея (см. § 16 гл. 1).

 

С другой стороны, эти уравнения  сохраняют свой вид при преобразованиях  Лоренца (§ 16 гл. 1). Этот чисто математический факт следует из формы уравнений  Максвелла, и в принципе его можно  было бы обнаружить, не имея ни малейшего  представления о физическом содержании этих уравнений. Однако дерзкое требование изменить законы динамики так, чтобы  они тоже стали инвариантны относительно преобразований Лоренца, не является уже  ни математическим, ни даже дедуктивным. Это разрешение дилеммы, поставленной отрицательным результатом эксперимента Майкельсона–Морли (§ 16 гл. 1); из него следует, что все законы физики должны быть инвариантны относительно группы преобразований Лоренца.

 

Когда Эйнштейн в 1905 г. сформулировал  эти новые для физики представления, идеи Феликса Клейна, касающиеся геометрии, были приняты и полностью оценены  математиками того времени. Клейн изложил  эти идеи в речи, прочитанной им при вступлении в должность профессора математики в Эрлангене. В этой речи, ставшей известной под названием Эрлангенской программы, он предложил рассматривать различные геометрии как изучение инвариантов соответствующих групп преобразований 2). Выдающийся математик Герман Минковский, изумлённый сходством между физическими идеями Эйнштейна и геометрическими идеями Клейна, сумел получить из них прекрасное сочетание — пространство-время, наделённое геометрией, в основу которой положены преобразования Лоренца.

 

Обсуждая роль математики в формулировании физических законов  и выводе из них следствий, необходимо отметить часто возникающее несоответствие между глубиной физической теории и  степенью сложности её математического  описания.

 

Математический аппарат  специальной теории относительности  предельно прост, в то время как  лежащие в её основе физические идеи и представления чрезвычайно  тонки и глубоки. С другой стороны, многие проблемы, поставленные техникой, вносят незначительный вклад в наше понимание физического мира, однако требуют привлечения невероятно сложного математического аппарата. Кроме того, хотя (и это весьма примечательно) так часто какое-либо детище математики, задуманное и выращенное в её недрах, оказывается неожиданно полезным для описания явлений внешнего мира (хорошими примерами служат комплексные  числа и матрицы), тем не менее  ни элегантность, ни особая сложность  того или иного математического  понятия, построения или метода сами по себе не дают никакой гарантии их практической полезности и пригодности.

 

Вигнер так подытожил всё это в своей статье «^ Непостижимая эффективность математики в естественных науках» 3): «Математический язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки физических законов. Это чудесный дар, который мы не понимаем и которого не заслуживаем. Нам остаётся лишь благодарить за него судьбу и надеяться, что и в будущих исследованиях мы сможем по-прежнему пользоваться им и что сфера его применимости (хорошо это или плохо) будет непрерывно возрастать, охватывая всё более широкие области науки и принося нам не только радость, но и новые головоломные проблемы.»

 

Бесполезно было бы пытаться сколько-нибудь полно описать взаимодействие между математикой и физическими  науками. Остановимся, однако, на одном  важном аспекте этого взаимодействия, представляющем значительный интерес.

 

Внешний мир настолько  сложен, что учёный-естествоиспытатель бывает доволен, если ему удаётся  уловить и понять хотя бы некоторые  самые простые из присущих миру закономерностей. Для этого он вводит упрощённые и  идеализированные модели, освобождённые  от маловажных и усложняющих дело подробностей и отражающие, как он надеется, наиболее существенные свойства рассматриваемых физических объектов.

 

Так, например, Ньютон при  выводе законов Кеплера считал, что  на планеты действует только притяжение Солнца. Он пренебрёг действием других масс, хотя это, строго говоря, было неправильно. Позднее были предложены другие модели, более близкие к действительности. Одним из крупнейших достижений астрономии XIX века было предсказание существования  планеты Нептун, сделанное Адамсом  и Леверье при попытке найти объяснение тому, что движение Урана заметно отклоняется от его кеплеровой орбиты.

 

Грубо говоря, дело обстоит  так: вопрос о выборе модели решает учёный-естествоиспытатель; после этого  выполняет свою роль математика, позволяющая  дедуктивно выводить заключения уже  только на основе предложенной модели. Всё это достаточно хорошо известно и вряд ли требует дальнейшего  обсуждения.

 

Существуют и модели иного  типа, которые помогают разрешить  логические трудности, возникающие  при изучении других моделей, на вид  вполне хорошо отражающих явления внешнего мира. Рассмотрим, например, тепловые явления  при контакте двух тел A и B разной температуры, изолированных от всех остальных  тел. Тогда, согласно законам термодинамики, должен возникнуть поток тепла только в одну сторону от более горячего тела (скажем, A) к более холодному (B) (однонаправленный поток).

 

В ходе этого процесса разность температур будет экспоненциально  стремиться к нулю (закон теплопередачи  Ньютона). Это следует из знаменитого  второго начала термодинамики; одним  из пессимистических следствий второго  начала (в применении ко Вселенной) является полное выравнивание температур всех тел, которое Клаузиус назвал тепловой смертью.