Теорема Виета

Муниципальное общеобразовательное  учреждение

«Средняя общеобразовательная  школа» №13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферат:

«Теорема Виета»

 

 

 

 

 

 

 

Составили

учащиеся 9 в класса

 

Руководитель

Мартынова Е.Г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Муром, 2010 г.

 

 

Содержание

 

1. Введение
2. Основная часть

1. Формулы Виета
2. Теорема Виета в школьном курсе
3. Теорема Виета в заочной физико – технической школе
4. Теорема Виета на централизованном тестировании

3. Заключение

4. Литература

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«По праву достойна в  стихах быть воспета О свойствах корней теорема  Виета. Что лучше, скажи постоянства такого: Умножишь ты корни - и  дробь уж готова; В числителе с, в знаменателе a, А сумма корней тоже дроби  равна, Хоть с минусом дробь  эта, что за беда В числителе b, в знаменателе а».

 

 

Введение

XV и XVI столетия были временем больших перемен в экономике, политической и культурной жизни европейских стран. Все перемены в жизни общества сопровождались широким обновлением культуры – расцветом естественных и точных наук, литературы на национальных языках и изобразительного искусства. К этому периоду относится творческая деятельность Франсуа Виета.

Виет Франсуа (1540 – 1603) родился в  городе Фонтене ле-Конт провинции  Пуату. Получив юридическое образование, он с девятнадцати лет успешно  занимался адвокатской практикой  в родном городе. Как адвокат Виет пользовался у населения авторитетом и уважением. Он был широко образованный человек. Знал астрономию и математику и всё свободное время уделял этим наукам.

Преподавая частным образом  астрономию дочери одной знатной  клиентки, Виет пришёл к мысли составить труд, посвящённый усовершенствованию птолемеевской системы. Затем он приступил к разработке тригонометрии и приложению её к решению алгебраических уравнений. В 1571 году Виет переехал в Париж и там познакомился с математиком Пьером Рамусом. Благодаря своему таланту и отчасти благодаря браку своей бывшей ученицы с принцем де Роганом, Виет сделал блестящую карьеру и стал советником Генриха III, а после его смерти Генриха IV.

Но главной страстью Виета была математика. Он глубоко изучил сочинения классиков Архимеда и Диофанта, ближайших предшественников Кардано, Бомбелли, Стевина и других. Виета они не только восхищали, в них он видел большой изъян, заключающийся в трудности понимания из-за словесной символики.

Почти все действия и знаки записывались словами, не было намёка на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся. Нельзя было записывать и, следовательно, начать в общем виде алгебраические сравнения или какие-нибудь другие алгебраические выражения. Каждый вид уравнения с числовыми коэффициентами решался по особому правилу. Так, например, у Кардано рассматривалось 66 видов алгебраических уравнений. Поэтому необходимо было доказать, что существуют такие общие действия над всеми числами, которые от этих самих чисел не зависят. Виет и его последователи установили, что не имеет значения, будет ли рассматриваемое число количеством предметов или длиной отрезка. Главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получать числа того же рода.  Значит, их можно обозначить какими-либо отвлечёнными знаками. Виет это и сделал. Он не только ввел своё буквенное исчисление, но сделал принципиально новые открытия, поставив перед собой цель, изучать не числа, а действия над ними. Правда, у самого Виета алгебраические символы ещё были мало похожи на наши.

Такой способ записи позволил Виету  сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений. Не случайно Виета называют «отцом»  алгебры, основоположником буквенной  символики. Особенно гордился Виет всем известной теперь теоремой о выражении коэффициентов уравнения через его корни, полученной им самостоятельно, хотя, как теперь стало известно, зависимость между коэффициентами и корнями уравнения (даже более общего вида, чем квадратного) была известна Кардано, а в таком виде, в каком мы пользуемся для квадратного уравнения, - древним вавилонянам.

 

I. Формулы Виета

Формулы Виета – формулы, выражающие коэффициенты многочлена через его корни. Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным его корням.

 

Формулировка

Если   — корни многочлена

(каждый корень взят  соответствующее его кратности  число раз), то коэффициенты  выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно:

Иначе говоря, равно сумме всех возможных произведений из k корней.

Если старший коэффициент  многочлена , то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на a₀ (это не влияет на значение корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен.

Доказательство

Доказательство осуществляется рассмотрением равенства

где правая часть представляет собой многочлен, разложенный на множители.

После перемножения элементов правой части, коэффициенты при одинаковых степенях x должны быть равными в обеих частях, из чего следуют формулы Виета.

Если бы многочлен не был приведённым, то есть имел бы старший коэффициент  , то формулы, аналогичные полученным, давали бы выражения для отношений .

Формулы Виета, устанавливающие связь  между корнями и коэффициентами произвольного многочлена, замечательны тем, что их правые части не меняются при любых перестановках корней

Примеры использования:

1. в квадратном уравнении

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна  второму коэффициенту с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Если x₁ и x₂ — корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 , то

 и .       (*)

В частном случае, если a = 1 (приведенная форма x² + px + q = 0), то x₁ + x₂ = − p и x₁x₂ = q.

С помощью формул Виета  можно получить разложение квадратного  трёхчлена ax²+bx+c=0 на множители.

Из формул (*) следует, что , поэтому

Итак, если x₁и x₂- корни квадратного трёхчлена ax² + bx + c, тогда для любого значения  x будет верна формула .

2. в кубическом уравнении

Если x₁,x₂,x₃ – корни кубического уравнения p(x) = ax³ + bx² + cx + d = 0,  то

 
II. Изучение теоремы Виета в школьном курсе

Соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения позволяют  некоторых случаях находить его корни устно, не прибегая к формуле корней.

Попробуем, например, подобрать корни уравнения . Формулы Виета подсказывают решение: корнями должны быть числа, сумма которых равна 8 и произведение которых равно 15. Легко видеть, что этим условиям отвечают числа 5 и 3: 5 + 3 = 8 и 5 · 3 = 15. Подставив числа 5 и 3 в уравнение, убедимся, что они действительно являются его корнями: и

  Решение квадратного уравнения путем подбора его корней основано на следующей теореме: если числа m и n таковы, что m + n = – p, a mn = q, то эти числа являются корнями уравнения .

Эта теорема обратна теореме Виета. Чтобы доказать ее, выразим коэффициенты уравнения через m и n: и q = mn. Значит, уравнения можно записать в таком виде: .

Подставим в уравнение вместо х  поочередно числа m и n:

Таким образом, эти числа – корни уравнения.

1. Не решая уравнения, укажем, имеет ли оно корни и чему  равны произведение и сумма  корней.

2. Данное уравнение имеет корни. Объясним, почему уравнение имеет корни  одинаковых знаков, и определим их.

  

3. Данное уравнение имеет корни. Объясним, почему уравнение имеет корни  разных знаков. Определим, какой из корней больше по модулю – положительный или отрицательный.

4. Не применяя  формулу корней, найдём второй корень уравнения, если известен первый .

5. для составления квадратного уравнения, имеющего корни 8 и 7, можно применить два способа:

1) составить произведение , откуда получаем уравнение .

2)использовать формулы Виета:

, откуда получаем то же уравнение .

Составим вторым способом квадратное уравнение, имеющие корни – 1 и 15.

6. Один из корней уравнения равен – 5.

Определим другой корень и коэффициент p.

Один из корней уравнения равен – 2.

Определим другой корень и коэффициент p.

7. Один из корней уравнения равен – 10.

Определим другой корень и коэффициент q.

 

Один из корней уравнения равен 3.

Определим другой корень и коэффициент q.

8. Найдём все целые значения p, при которых данное уравнение имеет целые корни.

Найдем все пары целых чисел, произведение которых равно 15.

 

Соответствующие значения p равны – 16, – 8, 16, 8.

9. Составим квадратное уравнение, корни которого на 2 меньше корней уравнения .

Пусть – корни уравнения, которое надо составить. Тогда

 

Получим уравнение

 

III. Изучение теоремы Виета в заочной физико – технической школе

Теореме Виета на всех этапах её изучения уделяется много внимания.

В федеральной заочной физико-технической школе при МФТИ также изучается теорема Виета. Рассмотрим некоторые упражнения из программы 9 класса.

Решите уравнение:

а)          б)

в)

Решение:   а) По теореме, обратной теореме Виета, и  - корни данного уравнения.

Ответ:

б) Заметим, что является корнем данного уравнения. Значит, уравнение имеет корни, и, по теореме Виета, их произведение откуда

Ответ: – 1;

в) заметим, что является корнем. Из условия получем, что

Ответ: 1;

Пример.   Пусть и – корни квадратного уравнения .

Выразить  через коэффициенты уравнения.

По теореме Виета  преобразуем выделив полный квадрат: Отсюда

Ответ:

Задача. Числа и являются корнями уравнения . Найдите а) ; б) .

Решение.

По теореме Виета  .

а)

б)

Пример.   Пусть  и – корни квадратного уравнения .

Полагая, что  и х₂ 0, составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа и

Обозначим p= – и q= . По обратной теореме Виета числа и – корни уравнения  . Выражаем, применяя к исходному уравнению прямую теорему Виета, числа p и q через a,b,c:

 и 

Итак, числа  и - корни уравнения или

Заметим, что согласно условию задачи.

Ответ:

Пример 4. Найти все  значения к, при которых уравнение

х² + (2к - 5)х + к² = 0 имеет только положительные корни.

Во – первых, нужно обеспечить, чтобы уравнение имело корни. Необходимое и достаточное условие этого - неотрицательность дискриминанта: (2к-5)²-4к²>0.

Во – вторых, уже с учетом этого нужно получить условие положительности корней. Простой способ дает теорема Виета. По этой теореме , и если оба корня положительны, то .

Это условие необходимо, но не достаточно, т.к. положительность произведения означает только то, что корни имеют одинаковые знаки (и могут оба казаться отрицательными). По теореме Виета . Если оба корня положительны, то и их сумма положительна, т.е. 5-2k>0.